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樹狀圖求概率題型及答案
樹狀圖求概率題型及答案
更新时间:2025-04-04 19:51:30

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)1

請看2道題:

1.抛一枚均勻硬币一次,正面朝上的概率是多少?

2.抛一枚均勻硬币兩次,兩次正面朝上的概率是多少?

對于第1題,很多同學可能馬上就把答案脫口而出:“½!”可是到了第2題,就被難住了。

第2題難在哪裡呢?

先看第1題的答案:“½”。它是怎麼來的呢?

抛一枚均勻硬币一次,有2種可能的結果,一是正面朝上,二是反面朝上,它們出現的可能性相同,所以分母是“2”;其中,“正面朝上”的結果有1種,所以分子是“1”。

也就是說,如果能夠列出所有等可能結果,我們就能把概率算出來。

問題來了,像第2題,一枚均勻硬币抛兩次,有幾種等可能結果呢?

有的同學反應很快:“我知道,兩次正面朝上、兩次反面朝上和一正一反朝上,有3種!”

這是不對的,因為這三種結果的可能性不同,一正一反朝上會比另外兩種情況更容易出現。

那怎麼辦呢?有兩件工具,一是樹狀圖,二是表格。

先說樹狀圖。

以第2題為例,我們可以通過三個步驟,畫出一個成功的樹狀圖:

第1步,寫标題。

由題目中的”抛一枚均勻硬币兩次”,可在第一行寫上三個标題:第1次、第2次和結果。

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)2

第2步,列可能。

因為第1次抛硬币時,等可能結果有2種,正面朝上和反面朝上,所以在“第1次”标題的下方,列出“正面”和“反面”。

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)3

如果第1次抛是正面朝上,那麼第2次抛硬币時,等可能結果還是2種,正面朝上和反面朝上,所以在“第2次”的下方,對着“第1次”下方的“正面”,列出“正面”和“反面”,并連線。

同樣的道理,在“第2次”的下方,對着“第1次”下方的“反面”,列出“正面”和“反面”,并連線。

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)4

第3步,寫結果。

在“結果”的下方,對着“第2次”的每一種可能,用坐标的形式寫出結果,比如,(正面,反面)表示第一次正面朝上,第二次反面朝上。

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)5

至此,樹狀圖就畫完了。從圖可看出,共有4種等可能結果,其中兩次正面朝上的結果有1種,所以概率為1/4,問題解決。

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)6

說完樹狀圖,再說說列表格。

還是以第2題為例,我們可以通過四個步驟,列出一個成功的表格:

第1步,畫表格。

表格由行和列組成,這道題需要幾行幾列呢?

第1次抛硬币時,等可能結果有2種,所以行數=2 1=3行;第2次抛硬币時,等可能結果有2種,所以列數=2 1=3列,也就是說,我們要畫一個3行3列的表格。

有同學可能要問,為什麼要加“1”呢?

很簡單,加的是标題啊!

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)7

第2步,寫标題。

找到表格的左上角的單元格,畫對角線,把它“劈”開兩半,在下面的一半中寫“第1次”,在上面的一半寫“第2次”。

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)8

第3步,列可能。

在“第1次”下方的格子中,寫上“正面”和“反面”;接着,在“第2次”右邊的格子中,也寫上“正面”和“反面”。

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)9

第4步,填結果。

在剩餘的單元格中,用坐标的形式寫出結果,比如,(正面,反面)表示第一次正面朝上,第二次反面朝上。

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)10

至此,表格就列完了。從表中同樣可以看出,共有4種等可能結果,其中兩次正面朝上的結果有1種,所以概率為1/4,問題解決。

有的同學可能要問:“我知道怎麼做了,但是不會寫過程,怎麼辦?”不用怕,這裡給你一個可套用的答題框架:

①說前提:∵每個結果都是等可能事件

②列結果:畫樹狀圖,或列表格

③求總結果數:共有m種等可能結果

④求事件結果數:事件A結果有n種

⑤求概率:P(A)=n/m

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)11

有的同學可能要問:“這道題我會做了,可是換一道題,我就不知道該不該用樹狀圖或表格,怎麼辦?”

注意看,第1題和第2題有一個區别,前者隻涉及1個因素,後者涉及“第1次”和“第2次”兩個因素。

當一個試驗涉及2個因素時,我們就可以利用樹狀圖或表格,不重複不遺漏地列出所有等可能的結果,從而更方便地求出某些事件發生的概率。

如果超過2個因素呢?列表格就幫不上忙了,樹狀圖還是可以勝任的。

很簡單,對嗎?來看看這道題:

一個袋子裡有2個紅球、1個藍球和1個黃球,它們除了顔色以外都相同,小明先從中随機摸出一個球,記下顔色後不放回,再從中随機摸出一個,請問小明摸到兩個紅球的概率是多少?

有的同學可能很快地畫了這樣的樹狀圖:

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)12

對嗎?不對,紅球的數量更多,摸到它與摸到藍球和黃球的可能性是不一樣的。

那怎麼辦?可以把2個紅球編号,記為紅1、紅2,這樣随機摸出一個球,結果就可能是紅1、紅2、藍或黃,它們是等可能的。

那就把樹狀圖改成這樣,可以了吧?

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)13

也不對。題目說到,小明第1次摸球出來後,是“不放回”的。既然是不放回,第1次如果摸到紅1,第2次是不可能再摸到紅1的,也就是說,同一種可能不會在“第2次”中再次出現。

正确的樹狀圖,應該是這樣的:

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)14

如果我選擇列表格,又該做出什麼樣的調整呢?

按照原本的思路,我們列的表格是這樣的:

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)15

可是,因為題目說了“不放回”,所以紅1和紅1不可能出現在同一個結果中;以此類推,同一種可能重複出現的結果都應該删掉。

正确的表格,是這樣的:

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)16

從表格可看出,共有12種等可能結果,摸到兩個紅球的結果有2種,所以概率為2/12,也就是1/6。

樹狀圖求概率題型及答案(用樹狀圖或列表求概率的3個框架)17

我是總結

1.列樹狀圖的步驟:

①寫标題:分清試驗的2個因素;

②列可能:列出每個因素的等可能結果;

③寫結果:用坐标形式。

2.列表格的步驟:

①畫表格:通過計算預估行數和列數;

②寫标題:左上角畫斜線;

③列可能:第1列和第1行;

④填結果:用坐标形式。

3.兩個注意事項:

①切記“等可能”是基本前提;

②如果是“不放回”,樹狀圖和表格要調整:

- 樹狀圖中,同一種可能不出現在“第2次”中;

- 表格中,同一種可能在同一個結果不重複。

4.一個答題框架:

①說前提:∵每個結果都是等可能事件;

②列結果:畫樹狀圖,或列表格;

③求總結果數:共有m種等可能結果;

④求事件結果數:事件A結果有n種;

⑤求概率:P(A)=n/m。

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