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數獨小題目
數獨小題目
更新时间:2025-03-29 23:08:17

#在家看好書#

——中小學數學競賽愛好者和大學生适合練習的高難六宮數獨(第05題)

在家上網課、看好書之餘,解答數獨題,也是休閑娛樂、健腦益智的好途徑。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)1

圖M1是一個六宮數獨遊戲,它有六行、六列,A、B行的123列組成第一宮,456列組成第二宮,C、D行左右各六格組成第三、第四宮,E、F行左右又有第五宮、第六宮。我們要在空格中填入1~6的整數,與已知的數字一起,使每行、每列、每宮的數字都不重複,即為所謂的數獨。

六宮數獨,粗看好像較為簡單,但依據已知的數字的多少和布局的情況,也有較難的,例如圖M1的題目,我們現在就開始解這道題。有些經驗但還不太熟練者可從文末的M1的簡化版M2開始做題,初學者也可由M2的進一步簡化版M3着手。

由圖M1,E3所在的E行和3列已經有13456這五個數字,按照數獨的規則,E3就是2,這是唯一數法,如圖01。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)2

在圖01中,又用唯一數法,A3所在的A行和3列已有數字12346,可見A3必為5,即有圖02。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)3

對于圖02,讨論第六宮。A4為6使E4與F4不是6,C6為6因而F6不為6,第六宮中隻有E5是6,這是行列排除法,就得到圖03。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)4

看圖03,E2所屬的第五宮和E行已有12356,E2隻好為4。而C3是3行的唯一宮格,故C3為3。都用到唯一數法,就有圖04。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)5

圖04中,C3為3故C4與C5不是3,E3為3則D6不是3,第四宮隻有D4=3。又A2為3使F2不是3,第五宮中必須是F1=3。又是行列排除法,即為圖05。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)6

觀察圖05,第五宮中的唯一空格F2必為6,E行的唯一空格定是1,這又用到唯一數法,如圖06。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)7

而圖06的第一宮中,仍用行列排除法,A4為6因此A1不是6,F2為6可見B2不是6,隻能是B2為6,就是圖07。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)8

看圖07的第二宮,A2為3則A5與A6不是3,D4為3故B4不是3,E6為3從而B6不是3,可知B5=3,就在圖08中。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)9

到了這一步,常規的解法就無法繼續了,要采用候選數法這種升級的技巧來解決問題。在每個空格中填入小字體的數字1~6,再按每行、每列、每宮中已經知道的數字劃去小字體中重複的數,就得所謂的候選數,如圖09。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)10

候選數法之所以功能更強大,是因為它把空格隐含的數字信息充分發掘出來。具體的實現形式也多種多樣,這裡采用一種看似編程算法的邏輯推理表達式來讨論關鍵點B2(需要嘗試尋找)的兩個候選數的去留情況:

+2[B2]-2[D2]+5[D2]-5[D6]+24[D6|F6]-24[A6]+1[A6]-1[A1]+2[A1]-2[B2]

分段解釋:

+2[B2]-2[D2] 假設B2為2,則同在2列的D2不是2;

+5[D2]-5[D6] D2隻能為5,則同在D行的D6不是5;

+24[D6|F6]-24[A6] D6與F6就成為恰好含有2和4的數對,這種結構特别穩固,即6列中不能再在别處有2或4,則A6要去掉2和4;

+1[A6]-1[A1] A6隻好為1,則同在A行的A1不能是1;

+2[A1]-2[B2] A1隻能為2,這就推翻了B2是2的假設。

可見,B2不是2,B2必須是1,删除第一宮、B行、2列的多餘候選數1,就有圖10。就本題而言,後面沒有什麼太難的地方,可以閑庭信步了。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)11

考慮圖10,C2與D2構成候選數為2和5的數對,則第三宮中的2和5必在C2與D2之中,C1與D1都要删去候選數2,就是圖11了。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)12

而圖11裡,A1的候選數隻有2,故A1為2,這稱為唯一候選數,比前面的唯一數法還要直接了當,無需再看所在行、列或宮的其他數。D1的候選數隻剩4,可見D1是4。清除相關行、列、宮的多餘候選數,參見圖12。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)13

對圖12來說,B6與D6是候選數為2和5的數對,因此F6要去掉候選數2,得到圖13。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)14

圖13中,A5、C1、F6處都是唯一候選數,顯然A5=4,C1=1,F6=4,清理相應行、列、宮中多餘的候選數,就有圖14。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)15

請看圖14,雖然C4有三個候選數245,但其中的4是第四宮中唯一為4的候選數,且已知數也不含4,可見C4為4,這是隐形唯一候選數。又A6、C5、F4都有唯一候選數,故A6為1,C5為2,F4為2。删去相關多餘的候選數,得圖15。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)16

在圖15中,B4、C2、D6處有唯一候選數5,B6、D2都有隐形唯一候選數2,所以B4、C2、D6都為5,B6、D2都是2,如圖16,即是圖M1這道題的解答。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)17

做完題目,還需驗證每行、每列、每宮數字的唯一性,才算大功告成。按數獨的要求,答案還必須是唯一的,這就排除了一些多答案的另類情形。

本題用候選數法解決最關鍵的步驟,要用敏銳的觀察來尋找突破口。而數獨遊戲的魅力就是經常有多樣的解法,這裡提供另一種思路。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)18

回到圖09,我們也可以這樣推理:

+2[A5]-2[A1]+1[A1]-1[C1]+24[C1|C5]-24[C4]+5[C4]-5[B4]+2[B4]-2[A5]

上式的意思是:假設A5為2,則A1不是2;A1隻能為1,故C1不是1,C1與C5構成包含2和4的數對,則C4不含2和4;C4隻好為5,則B4不能是5;B4隻有等于2,這與A5為2的假設矛盾。從而A5不是2,A5必是4。讀者可以驗證,接着的解題過程還是比較輕松的。

解決了最重要的問題後,再用候選數,就沒什麼挑戰性了。我們可以把圖10中的候選數撤掉,變成圖M2。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)19

有一定經驗但還需強化練習者可從這裡開始用常規的方法做下去,還能增加一些遊戲的趣味性。

圖M2再解下去,就得到更簡單的圖M3,初學者也可在此起步做題。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)20

從中小學到大學,大部分學生在學習數學時由于種種原因隻學會套用理論解題,在邏輯推理方面的練習相對比較缺乏。數獨遊戲恰好就經常要在推斷中尋求解題的辦法,通過做數獨題,能讓廣大學子在放松身心的同時,也可順便補充推理方面的訓練。建議中小學數學競賽愛好者和大學生多做這種較難的六宮數獨,并把一些解題技巧移植到标準九宮數獨中。

數獨小題目(在家看好書閑暇解數獨)21

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