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正切函數性質例題
正切函數性質例題
更新时间:2025-07-03 15:40:15

一、求與三角函數有關的函數定義域的方法

求與三角函數有關的函數的定義域的基本方法是“數形結合法”,也就是在求這類函數的定義域時,往往需要解有關的三角不等式(如本例中的“sinx>-1/2”),而解三角不等式的基本方法:要麼利用三角函數圖象,要麼利用單位圓(結合三角函數的定義)來解決問題。

正切函數性質例題(類題通法5.4.2正弦函數)1

二、求函數y=Asin(wx φ)(A>0,w>0)或y =Acos(wx φ)(A>0,w>0)的單調區間的步驟

(1)寫出基本函數y=sinx或y=cosx的相應單調區間;

(2)将“wx φ”視為整體替換基本函數單調區間中的“x”;

(3)解關于x的不等式。

三、利用單調性比較大小的方法

(1)比較兩個不同名的三角函數值的大小時,一般先将其化為同名的三角函數值再比較,或利用已知結論進行比較,如當 α為銳角時,sinα<α。

(2)比較兩個同名三角函數值的大小時,先利用誘導公式把兩個角轉化為同一單調區間内的角,再利用函數的單調性進行比較,注意:當不能将兩角轉化到同一單調區間上時,還可以借助圖象或值的符号進行比較。

四、求三角函數周期的方法

(1)定義法:若存在一個非零常數T,對定義域内的任意一個x,使f(x T)=f(x),則T是它的一個周期。

(2)公式法:形如y=Asin(wx φ)和y=Acos(wx φ)(其中A,w,φ為常數,且A≠0)的函數的周期T=2π/|w|。

(3)圖象法:畫出函數的圖象,通過圖象直接得到。

(4)推斷函數周期的幾個形式:①若f(x t)=f(x),則周期為2t;②若f(x t)=1/f(x),則周期為2t;③若f(x t)=- 1/f(x),則周期為2t。

正切函數性質例題(類題通法5.4.2正弦函數)2

五、有關三角函數奇偶性問題的解題思路

(1)要使y=Asin(wx φ)(Aw≠0)為奇函數,則φ=kπ(k屬于Z)。

(2)要使y=Asin(wx φ)(Aw≠0)為偶函數,則φ=kπ π/2(k屬于Z)。

(3)要使y=Acos(wx φ)(Aw≠0)為奇函數,則φ=kπ π/2(k屬于Z)。

(4)要使y=Acos(wx φ)(Aw≠0)為偶函數,則φ=kπ(k屬于Z)。

六、求三角函數圖象的對稱軸和對稱中心的方法

對于函數y=sin(wx φ)或y=cos(wx φ)的圖象的對稱性,應将wx φ看成一個整體,利用整體代入思想,令wx φ等于kπ(或kπ π/2)(k屬于Z),解出的×的值即為對稱中心的橫坐标;令wx φ等于kπ π/2(或kπ)(k屬于Z),解出的x的值即為對稱軸與x軸交點的橫坐标。

七、三角函數最值問題的求解方法

(1)形如y=Asin(wx φ) b(或y=Acos(wx φ) b)型,可先由定義域求得wx φ的範圍,然後求得sin(wx φ)(或 cos (wx φ)的範圍,最後求得最值。

(2)形如y=asin2x bsinx c (a≠0)型函數的處理思路:

可以通過換元,令t=sinx,将原函數轉化為關于t的二次函數,再利用配方法求值域或最值,求解過程中要注意正弦函數的有界性。

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