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高考圓錐曲線基本公式
高考圓錐曲線基本公式
更新时间:2025-04-02 08:40:23

高考圓錐曲線基本公式(直線與圓錐曲線的關系)1

圓錐曲線部分屬于高考數學的重點與難點,其中直線與圓錐曲線的位置關系更是高中數學的重要内容,也是高考數學試題的熱點之一。

直線與圓錐曲線的位置關系主要圍繞直線與圓錐曲線相離、相切、相交展開,并衍生出弦長,中點弦等相關問題。直線與圓錐曲線在解析幾何,代數,三角和平面向量中均有論述,是高考數學的主幹知識和重點考查内容。

直線與圓錐曲線相關知識内容和題型,在全國各地高考數學當中都涉及這部分内容。高考對直線與圓的方程主要考查二者的位置關系及相關聯的求弦長、三角形面積等問題,考查的數學思想主要是數形結合、函數與方程等數學思想方法,試卷中一般以基礎題和中檔題為主。

基本的研究方法分為兩類:

一是聯立直線與圓錐曲線方程,運用Δ判斷交點個數,從而得到兩者的位置關系,這一方法基本固定,但在範圍問題中,Δ卻是提供參數範圍的一個最常用的不等式,十分重要;

二是針對中點弦這一特殊問題的專用方法——點差法。

高考圓錐曲線基本公式(直線與圓錐曲線的關系)2

​直線與圓錐曲線有關的高考試題分析,講解1:

如圖,已知曲線C1:x2/a2 y2/b2=1(a>b>0,y≤0)的離心率e=√6/3,且經過點G(1,﹣√6/3),曲線C2:x2=2y,過曲線C1上一點P作C2的兩條切線,切點分别為A,B.

(Ⅰ)求曲線C1的方程;

(Ⅱ)求△PAB面積的最大值與最小值.

高考圓錐曲線基本公式(直線與圓錐曲線的關系)3

高考圓錐曲線基本公式(直線與圓錐曲線的關系)4

高考圓錐曲線基本公式(直線與圓錐曲線的關系)5

考點分析:

橢圓的簡單性質.

題幹分析:

(Ⅰ)運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程,求解方程組得到a,b的值,則橢圓方程可求;

(Ⅱ)設AB所在直線方程為y=kx t,聯立直線方程和抛物線方程,化為關于x的一元二次方程,利用根與系數的關系求得A,B的橫坐标的和與積,再分别寫出過A,B的抛物線的切線方程,運用導數求得切線的斜率,得到切線方程,聯立兩切線方程求出P的坐标,代入橢圓方程得到k,t的關系,再由弦長公式求出|AB|,由點到直線的距離公式求出P到AB的距離,代入面積公式,利用配方法求得S△ABP的最值.

高考圓錐曲線基本公式(直線與圓錐曲線的關系)6

直線與圓錐曲線有關的高考試題分析,講解2:

以F1(﹣2,0),F2(2,0)為焦點的橢圓C:x2/a2 y2/b2=1(a>b>0)經過點A(2,3).

(1)求橢圓C的方程;

(2)過原點的直線l交橢圓C于M、N兩點,P為橢圓C上的點,且與M、N不關于坐标軸對稱,設直線MP、NP的斜率分别為k1,k2,試問:k1,k2的乘積是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由.

高考圓錐曲線基本公式(直線與圓錐曲線的關系)7

考點分析:

橢圓的簡單性質.

題幹分析:

(1)由題意可得c=2,即a2﹣b2=4,将A(2,3)代入橢圓方程,解方程可得a,b,進而得到橢圓方程;

(2)由題意可設M(m,n),N(﹣m,﹣n),P(s,t),代入橢圓方程,作差,再由直線的斜率公式計算即可得到所求定值.

我們對曆年直線與圓錐曲線有關的題型,以及考查的特點與趨勢,會發現題型、内容和難度相對穩定,突出考查數學主幹知識,注重通性通法的同時适度創新的特點,多數題目源于教材又高于教材,且注意知識的綜合運用,寬角度、高視點、多層次地考查了解析幾何的基本思想和學生的數學素養。

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