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函數的奇偶性和周期性的判斷
函數的奇偶性和周期性的判斷
更新时间:2025-04-03 07:25:42

函數的奇偶性和周期性的判斷?一、函數的奇偶性1.定義:,我來為大家科普一下關于函數的奇偶性和周期性的判斷?以下内容希望對你有幫助!

函數的奇偶性和周期性的判斷(函數的奇偶性和周期性)1

函數的奇偶性和周期性的判斷

一、函數的奇偶性

1.定義:

對于函數f(x),如果對于定義域内任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那麼f(x)為奇函數;

對于函數f(x),如果對于定義域内任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼f(x)為偶函數;

2.性質:

(1)函數依據奇偶性分類可分為:奇函數非偶函數,偶函數非奇函數,既奇且偶函數,非奇非偶函數;

(2) f(x),g(x)的定義域為D;

(3)圖象特點:奇函數的圖象關于原點對稱;偶函數的圖象關于原點對稱;

(4)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件,奇函數f(x)在原點處有定義,則有f(0)=0;

(5)任意一個定義域關于原點對稱的函數f(x)總可以表示為一個奇函數與偶函數的和的形式:f(x)=g(x) h(x),其中g(x)=-[f(x) f(-x)]為偶函數,h(x)=-[f(x)-f(-x)]為奇函數;

(6)奇函數在關于原點對稱的區間具有相同的單調性,偶函數在關于原點對稱的區間具有相反的單調性。

3.判斷方法:

(1)定義法

(2)等價形式:

f(-x) f(x)=0,f(x)為奇函數;

f(-x)-f(x)=0,f(x)為偶函數。

4.拓展延伸:

(1)一般地,對于函數y=f(x),定義域内每一個自變量x,都有f(a x)=2b-f(a-x),則y=f(x)的圖象關于點(a,b)成中心對稱;

(2)一般地,對于函數y=f(x),定義域内每一個自變量x都有f(a x)=f(a-x),則它的圖象關于x=a成軸對稱。

二、函數的周期性:

1.定義:

對于函數y=f(x),如果存在一個非零常數T,使得當自變量x取定義域内的每一個值時,都有f(x)=f(x T)成立,那麼就稱函數y=f(x)為周期函數。

2.圖象特點:

将函數y=f(x)的圖象向左(右)平移的整數倍個單位,所得的函數圖象與函數y=f(x)的圖象重合。

3.函數圖象的對稱性與周期性的關系:

(1)若對于函數y=f(x)定義域内任意一個x都有f(a x)=f(a-x)且f(b x)=f(b-x),(a、b不相等的常數)則函數為周期函數。(周期為:2|a-b|)

(2)若對于函數y=f(x)定義域内任意一個x都有f(a x)=-f(a-x)且f(b x)=-f(b-x),(a、b不相等的常數)則函數為周期函數。(周期為:2|a-b|)

(3)若對于函數y=f(x)定義域内任意一個x都有f(a x)=-f(a-x)且f(b x)=f(b-x),(a、b不相等的常數)則函數為周期函數。(周期為:4|a-b|)

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