1. 多邊形内角和為(n-2)180º
證明:
上圖n邊形,在中心找一點,連接中心和各個頂點,把五邊形分成五n個三角形,求多邊形的内角和轉化為求三角形内角和問題。
n邊形内角和=(180º-∠1) (180º-∠2) (180º-∠3) (180º-∠4) (180º-∠5) …..(180º-∠n)
=n*180º-(∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ……∠n)
=n*180º-360º
=180º(n-2)
2. 多邊形的外角和為360º
證明:
因為:
180º-∠1 180º-∠2 180º-∠3 180º-∠4 180º-∠5 ……180º-∠n=(n-2)*180º
n*180º-(∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ……∠n)=(n-2)180º
n邊形的外角和=∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ……∠n
所以 :
n*180-n邊形的外角和=(n-2)180º
n邊形的外角和= n*180º-(n-2)180º-=n*180º- n*180º 360º =360º
3. 多邊形的對角線
(1) 對角線定義
連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線
(2) n邊形的一個頂點可以引出n-3條對角線,這些對角線可将n邊形分成n-2個三角形
證明:
n邊形共有n個頂點,因此剩餘n-1個頂點,根據對對角線的定義,有兩個頂點與這個頂點相鄰,因此剩餘頂點個數為(n-1)-2=n-3,從某一頂點隻能向n-3個點引出n-3條對角線。
(1) n邊形共有n(n-3)/2條對角線
證明:
根據(2)的結論,n邊形每一個頂點有n-3條對角線,那麼n邊形共有n(n-3)條對角線,因為每一條對角線重複的計算了兩次,因此對角線數為n(n-3)/2
4. 正多邊形
(1) 定義在同以平面内各内角都相等,各邊也相等的多邊形叫做正多邊形
(2) 正五邊形1) 正五邊形每個内角為3*180º/5=108º
2) 外角為:360º/5=72º
或者:180º-108º=72º
3) 共有n(n-3)/2=5(5-3)/2=5條對角線
(3) 正六邊形
1) 正六邊形每個内角為4*180º/6=120º
正六邊形外對角線的交點是外接圓的圓心,把正六邊形分成六個等邊三角形
2) 外角為:360º/6=60º
或者:180º-120º=60º
3) 共有n(n-3)/2=6(6-3)/2=9條對角線
二、基礎題型1. 例題1
正六邊形的邊長為3,較長的一條對角線長為?
根據上面正六邊形的性質可知,較長的一條對角線為6
2. 考察知識點:(1) 等邊三角形及内角為60º
(2) 正六邊形
(3) 多邊形的對角線
3. 解題思路和技巧利用正六邊形的特點以及對角線的知識即可
三、綜合題型
1) 解①:
因為;
正五邊形每個内角大小為108º
AE=AB, AE=ED
所以:∠ABE=∠EAD=36º
因為:
∠BAD=∠EAB-∠EAD=108º-36º=72º
∠AME=∠ABE ∠BAD
所以:
∠AME=36º 72º=108º
所以①結論正确
2) 解②:
因為:
∠AEM=∠AED=108º
∠EAM=∠EAD=36º
所以:
ΔAME∽ΔAED
所以有:
AE/AD=AM/AE
又因為:
∠AED=108º
∠AEB=∠DEC=36º
∠AEN=∠AED-∠DEC=108º-36º=72º
∠AEN=72º
又因為
∠DNE=∠AME=108º
所以:
∠ANE=180º-∠DNE=180º-108º=72º
所以有:
∠AEN=∠ANE
AN=AE
因為:AE/AD=AM/AE AN=AE
所以:AN/AD=AM/AN
因此結論②正确
1) 正多邊形
2) 等腰三角形
3) 直角三角形及勾股定理
4) 三角形全等
5) 三角形相似
(2) 解題思路和技巧①,利用正多邊形的内角和、等腰三角形,三角形的一個外角和等于不相鄰的兩個内角和
②,根據公式AN/AD=AM/AN得出與AM和AD有關,找出ΔAME∽ΔAED,然後再找出AE=AN即可,利用角度關系很容易找出AE=AN
③,充分利用②的條件,根據公式AN/AD=AM/AN,列出方程就可以解決問題
④,利用全等、等腰三角形求出ΔEBC的高,就求出了他的面積。
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