根據電磁感應定律，變壓器的電壓和磁通之間有關系式

u=dφ/dt

設加在變壓器上的電壓為u=Um sin(ωt α)。

将u=Um sin(ωt α)帶入u=dφ/dt後解微分方程可以得出式：

φ=-Φm cos(ωt α) Φ(0)

其中-Φm cos(ωt α)為穩态分量，Φ(0)為自由分量。當考慮到變壓器損耗時，自由分量為衰減的非周期分量。由于鐵芯中磁通不能突變，考慮變壓器的剩磁（剩磁的大小和方向與變壓器上次切除時刻有關），則在t=0時刻合閘時的磁通有關系式：

φ(t=0)=-Φm cos α Φ(0)= Φr

則解得衰減的非周期分量為

Φ(0)=Φm cos α Φr

變壓器正常運行時，磁通不會超過飽和磁通Φsat，Φsat一般設為1.16-1.4ΦN（ΦN為額定磁通，為變壓器運行電壓等于額定電壓時，鐵芯中産生的磁通）。在變壓器空載合閘的暫态過程中，由于非周期分量Φ(0)的作用φ可能大于Φsat，從而造成變壓器鐵芯飽和。假設Φr為正，cos α>0，合閘半個周期（ωt=π）時φ達到最大值，為φ=2 Φm cos α Φr，當α=0°時合閘，非周期分量最大，為Φ(0)=Φm Φr。磁通φ達到最大值為2Φm Φr。此時磁通φ遠大于飽和磁通，變壓器嚴重飽和。

初始合閘的相角及剩磁決定了變壓器的飽和程度。

Θ1=arccos(Φm cosα Φr-Φsat/Φm)

0<Θ1<π

-Φm cosΘ1= Φsat-Φm cosα-Φr

-Φm cosΘ= φ-Φm cosα-Φr

兩式相減得：

Φ-Φsat= Φm cos Θ1-Φm cos Θ

勵磁電流在磁通小于Φsat時很小，認為是0，所以勵磁電流從Φ-Φsat開始逐漸增大。磁化曲線上的斜率為勵磁回路的電感Lμ，根據變壓器的磁化曲線，變壓器正常運行時，勵磁電流與磁通在非飽和段，此時勵磁曲線的斜率很大，勵磁電流近似為0，當變壓器鐵芯飽和後，勵磁電流和磁通在飽和段，曲線斜率變小。勵磁電流顯著增大，則Im=Φm/Lμ

勵磁電流就為：iμ=0 0 ≤ Θ ≤ Θ1或2π -Θ1≤ Θ ≤ 2π

iμ=Im（cosΘ1-cosΘ） Θ1≤ Θ ≤2π -Θ1

間斷角ΘJ=2Θ1

一張比較接近實際的勵磁湧流時波形的圖片

1.在變壓器空載合閘時，湧流是否産生以及湧流的大小與合閘角有關，合閘角α=0和α=π，勵磁湧流最大。

2.波形完全偏離時間軸一側。并且出現階段，湧流越大，間斷角越小。

3.含有很大成分的非周期分量，間斷角越小，非周期分量越大。

4.含有大量的高次諧波分量，而以二次諧波為主，湧流越大。間斷角越小，二次諧波也越小。勵磁湧流中除了基波分量外，還存在大量的非周期分量和諧波分量，由于勵磁湧流是周期函數，可以展開成傅裡葉級數。從而可以計算出，非周期分量和各次諧波分量。

鑒别間斷角的大小

檢查二次諧波含量

鑒别電流的波形。

三相變壓器空載合閘時，三相繞組都會産生勵磁湧流。對于Yd11接線的三相變壓器，引入每相差動保護的電流為兩個變壓器繞組電流之差，其勵磁湧流也應該是兩個繞組勵磁湧流的差值，即iu.A.r=iu.A-iu.B，iu.B.r=iu.B-iu.C, iu.C.r= iu.C-iu.A。兩個勵磁湧流相減後，湧流的時域特征和頻域特征都有所變化 。

(1)由于三相電壓之間有120°的相位差，因而三相勵磁湧流不會相同，任何情況下空載投入變壓器，至少在兩相中要出現不同程度的勵磁湧流。

(2)某相勵磁湧流可能不再偏離時間軸的一側，變成了對稱性湧流。其他兩相仍為偏離時間軸一側的非對稱性湧流，對稱性湧流的數值比較小，非對稱性湧流仍含有大量的非周期分量，但對稱性湧流中無非周期分量。

(3) 三相勵磁湧流中有一相或兩相二次諧波含量比較小，但至少有一相比較大。

(4)勵磁湧流的波形仍然是間斷的，但間斷角顯著減小，其中又以對稱性湧流的間斷角最小。但對稱性湧流有另外一個特點: 勵磁湧流的正向最大值與反向最大值之間的相位相差120°。這個相位差稱為“波寬”，顯然穩态故障電流的波寬為180°。

二次諧波制動方法是根據勵磁湧流中含有大量二次諧波分量的特點，當檢測到差電流中二次諧波合量大于整定值時就将差動繼電器閉鎖，以防止勵磁湧流引起誤動。二次諧波制動元件的動作判據為I2>K2*I1，其中I1,I2分别為差動電流中的基波分量和二次諧波分量的幅值，K2稱為二次諧波制動比，按躲過各種勵磁湧流下最小的二次諧波含量整定，整定範圍通常為

K2=15%-20%。

具體數值根據現場空載合閘試驗或運行經驗來确定。

對于三相變壓器, 往往采用三相或門制動，即三相差動電流中隻要有一相的二次諧波制動比超過K2，就将三相差動繼電器全部閉鎖。

變壓器内部故障時，測量電流中的暫态分量也可能存在二次諧波，若二次諧波含量超過K2*I1，差動保護也将被閉鎖，一直等到暫态分量衰減後才能動作。時間長就發展成相間短路。

同樣電流互感器飽和也會在二次電流中産生二次諧波，電流互感器飽和越嚴重，二次諧波含量越大。

為了加快内部嚴重故障時縱差動保護的動作速度。往往再增加一組不帶二次諧波制動的差動繼電器，稱為差動電流速斷保護，差動電流速斷保護按躲過最大勵磁湧流整定。

差動速斷的另外一個整定原則是躲過外部故障時最大不平衡電流。

有些内容無法書寫，有疑惑之處（關于磁通波形，間斷角，湧流波形比較難理解之處）可看上節視頻，視頻講述很詳細。