一、什麼是四維空間
超過三維的空間,即高維空間,作為幾何對象是很難理解的,作為代數對象卻很容易理解。
根據我們日常對一維(線)、二維(面)、三維(體)空間的印象,一個空間有幾維,就是在這個空間中能夠做幾條互相垂直的直線,或者說有幾個互相垂直的方向。你面前一條左右伸展的直線上,隻有左右方向。你面前一張鋪開的白紙上,有左右方向加上下方向。你面前的整個空間中,有左右方向、上下方向和前後方向。
以此類推,四維空間就是在左右、上下和前後之外,還有一個與它們垂直的方向的空間。這個定義一目了然,人腦卻難以想象出來(不排除有些數學家經過特殊訓練有可能想象出來),因為我們日常見到的空間是三維空間,不存在這第四個方向。四維都想象不出來,更高維度就更不用說了。所以說,高維空間作為幾何對象是很難理解的。
從代數的觀點看,n維的空間就是所有的滿足以下性質的矢量的集合:(1)有n個互相垂直的基礎矢量屬于此集合,垂直的定義是純粹代數的,即兩個矢量的“内積”等于0;(2)此集合中任何一個矢量都等于這n個基礎矢量乘以某些常數後相加(即這些基礎矢量的線性疊加),例如2乘以第一個基礎矢量,加上3乘以第二個基礎矢量,加上0.5乘以第三個基礎矢量,加上0乘以後面的基礎矢量。你如果能看懂,太好了。如果看不懂,沒辦法,隻能說這是大學裡線性代數的内容,等你學到線性代數就明白了。這個定義的妙處是完全不需要空間想象,無論多少維在數學表述上都是一樣的。所以說,高維空間作為代數對象很容易理解。
二、四維空間就是無數個三維空間
我先從0維空間說起,大家一起來想像一下(人的大腦是可以超維度的,所以可以想像出高維空間)
0維—— 一個點,沒有上、沒有下、沒有左、沒有右也沒有前也沒有後,就是一個點。 1維—— 無數個點(0維空間)組成的一條線,有了前和後的概念;但是,任然沒有左右和上下。
2維—— 無數條相同的線(1維空間)組成的一個面;有前後也有左右的概念,但是,上和下任然不存在。
3維—— 我們生存的空間;由無數個面(2維空間)一層一層的疊起來組成的“立方體”空間,有上下、有前後也有左右的概念。
4維—— 超越我們生存的空間;由無數個立方體(3維空間)組成的“超立方”空間。在這個空間裡,上下、左右、前後是無限的。
,