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立體幾何大題4點共面問題怎麼解決

更新时间：2024-10-14 02:16:39

一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離

一個正四面體的頂點為A， B, C， D，每個棱的長度都是1，點P在棱AB上，點Q在棱CD上，求P和Q之間的最短距離。

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決（一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離）1

解法1：兩點之間垂線最短，這樣PQ最短距離的出現，應該是P是AB的中點， Q是DC的中點。

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決（一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離）2

如上圖，這樣連接PC和PD，可以知道PD=PC，因為四個面都是全等的等邊三角形，其中線也相等。因此PQ垂直于CD。

對于邊長為1 的等邊三角形，其中線PC=PD=(√3)/2, 而QC=1/2，

所以根據勾股定理， PQ的值：

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決（一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離）3

解法2：如下圖，有點D做DD’垂直于底面， D’是垂足，連接CD’, 由于是正四面體，所以D’是三角形ABC的中心，所以CD’則是底邊中心的2/3，這是由中心的性質決定的。由此得知三角形DCD’是直角三角形。

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決（一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離）4

可以算出：

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決（一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離）5

因為：

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決（一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離）6

而：

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決（一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離）7

根據餘弦定理：

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決（一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離）8

最後得出：

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決（一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離）9

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