考研#數學分析&高等數學#關于一般複系數的三次方程的根的分布情況讨論的結論

#引言：對于标準形式的複系數一元三次方程ax^3 bx^2 cx d = 0（其中a≠0），它求根通解區别于标準形式的實系數一元三次方程（以前講解過它的兩種通常解法：卡爾丹諾公式和盛金定理，這裡不再贅述。），有時可以參照卡爾丹諾公式和盛金定理，但有時不能嚴格使用。我們在解标準形式的一般一元三次方程時，同時為了書寫方便，限于篇幅，以下參數如何推導詳細可見B站“複系數标準形式一元三次方程的求解”内容（閱讀時稍有點負責，主要原因是利用4個複系數化為線性方程組——四元一次方程組），引入四個相關複數域參數u、v、m、n（它們均與三次方程的複系數a、b、c、d相關），具體可以表達為：u = （9•abc - 27•a^2•d - 2•b^3）/（54•a^3）， 而複數域參數 v = 【3（4a•c^3 - b^2•c^2 -18•abcd 27•a^2•d^2 4d•b^3）】^（1/3）/（18•a^2），同時當複數域參數u和v滿足如下關系時，另兩複數域參數m、n的值分别表述為：① 當 | u v | ≥ | u - v |（其中符号“| … |”表示兩複數和差的模，下面同）時，m = ³√（u v），② 當 | u v | ＜ | u - v | 時，m = ³√（u - v），③ 當 | m | ≠ 0 時，n = （b^2 -3•ac）/（9•am），④ 當 | m | = 0 時，n = 0；複平面坐标系單位圓上與實軸正半軸交點為起始點）逆時針方向三等分點（即模長為1，幅角為2π/3的複常數，也可理解為起始點原點、終點在2π/3方向上的單位向量）對應複常數 ω = cos 2π/3 i • sin 2π/3 = -1/2 i •√3/2，ω^2 = cos 4π/3 i • sin 4π/3 = -1/2 - i • √3/2，ω^3 = 1且滿足 ω ω^2 ω^3 = 0；于是原标準形式的一般複系數一元三次方程的複數域根為：x1 = m n - b/（3•a），x2 = ω•m ω^2•n - b/（3•a），x3 = ω^2•m ω•n - b/（3•a）。顯然滿足根與系數的關系表達式：x1 x2 x3 = - b/a。

而對于一般的一元三次方程 a•x^3 b•x^2 c•x d = 0（其中a≠0），通過代數變量置換（換元令 x = z - b/（3•a）），原一元三次方程總可以消去二次項，變為等價方程 z^3 p•z q = 0，通過待定系數法易知，上述方程中 p = （3•ac - b^2）/（3•a^2），q = （27d•a^2 - 9•abc 2•b^3）/（27•a^3），這樣可以解出關于 z 的三次方程必有三複根z1、z2、z3，進而根據 x = z - b/（3•a）得到x1、x2、x3，注意：當一元三次方程判别式 Δ = q^2/4 p^3/27，Δ＞0時，方程有1個實根兩個複根；Δ = 0時，有 3 個實根，特别地當 p = q = 0 時，有一個三重零根，p，q ≠ 0時，三個實根中有2個相等；Δ＜0時，方程有 3 個不等實根，用三角形式可表示為：x1 =2•³√r •cos θ，x2 = 2•³√r • cos （θ 2π/3 ），x3 = 2•³√r • cos （θ 4π/3 ），其中 r = √（- p^3/27），θ = （1/3）• arccos 【- q/（2r）】。類似于二次方程的韋達定理，則關于 x 的三次方程的 3 個複根與原一般形式方程系數關系為：x1 x2 x3 = - b/a，1/x1 1/x2 1/x3 = - d/c 或者為x1•x2 x2•x3 x3•x1 = c/a，x1•x2•x3 = - d/a 。

#據上述引言内容：在實分析中關于複數的有理函數定理，一般形式複系數三次方程： 考察三次方程 z^3 3H•z G = 0，其中H、G均為複數，如果假設給定：該方程有（1）一個實根，（b）一個純虛根，（c）一對共轭複根。這裡不妨假設 H = λ μ • i，G = ρ σ • i 于是我們可以得到下面結論：（a）一個實根的條件 若 μ ≠ 0，則實根為 - σ /（3μ），且滿足 σ^3 27λμ^2 -27ρμ^3 = 0，若 μ = 0，則必有 σ = 0，故方程的系數為實數，這種情況可能有三個實根；（b）一個純虛根的條件 若 μ ≠ 0，則純虛根為 ρ•i/（3μ），且有 ρ^3 - 27λμ^2•ρ - 27μ^3•σ = 0，若 μ = 0，則ρ = 0，且其根為 y•i，其中 y 值由方程 y^3 - 3λ•y - σ = 0 賦予，此時方程的系數為實數，在這種情況下， 方程可能有三個純虛根；（c）一對共轭複根的條件 設其共轭複根為 x ± y•i，顯然可知方程 3 根和為零，從而由根與系數關系推出第三根一定是 -2x，進而再次推出：y^2 - 3x^2 = 3H，2x（x^2 y^2）= G（根與系數關系），此時 H、G 必為實數方滿足條件。

以上每一種情況，我們都能求出一根，用一個已知因式相除（或者叫長除法），将三次方程轉化為簡單的二次方程，或者能将方程的求解轉化為相對簡單的實系數三次方程（引言内容有叙述推導，通常可适用卡爾丹諾公式或盛金定理求解。）

附注：在以前講解标準形式的一元三次方程求解時，曾詳細介紹過“卡爾丹諾公式”和中國“盛金定理”，如有異議或疑惑，可以單獨溝通講解。