今天更新一些機械設計常用的曲線及其方程。做參數設計的時候使用頻率較高。擺脫那種用氣缸堆砌的設計方法，這個是必須的。話不多說，請繼續往下看：

1、圓

1）标準形式圓形

(1)标準形式圓形的曲線圖

(2)标準形式圓形的方程式

A、角坐标方程

圓心O(0，0)，半徑 R

B、極坐标方程

ρ＝R，(參見一般形式的極坐标方程；圓心O(ρ＝0))

C、參數方程

（3）标準形式圓形的定義與特性

與定點等距離的動點軌迹

2）一般形式圓形

（1）一般形式圓形的曲線圖

（2）一般形式圓形的方程式

A、直角坐标方程

直角坐标方程（圓心O'(a，b) ，半徑 R）

B、極坐标方程

極坐标方程（圓心O'(ρ0，θ0)，半徑R）

C、參數方程

參數方程（半徑 R）

（3）一般形式圓形的定義與特性

與定點等距離的動點軌迹

2、橢圓

1）橢圓的曲線圖

2）橢圓的方程式

A、直角坐标方程

B、極坐标方程

(極點在橢圓中心O點)

C、參數方程

D、準線

3）橢圓的定義與特性

動點P到兩定點F1、F2(焦點)的距離之和為一常數時，P點的軌迹

備注：

2a——長軸(A1A2)

2b——短軸(B1B2)

2c——焦距(F1F2)

e——離心率

e愈大，橢圓愈扁平

頂點：A1(-a，0)

A2(a，0)

B1(0，-b)

B2(0，b)

焦點：F1(-c，0)

F2(c，0)

焦點半徑：

r1＝PF1，r2＝PF2

r1＝a-ex，r2＝a ex

3、雙曲線

1）雙曲線的曲線圖

2）雙曲線的方程式

（1）直角坐标方程

（2）極坐标方程

(極點在雙曲線中心O點)

（3）參數方程

（4）準線

（5）漸近線

3）雙曲線的定義與特性

動點P到兩定點F1、F2(焦點)的距離之差為一常數時，P點的軌迹

備注：

(1) 2a——實軸（兩頂點之間的線段稱為雙曲線的實軸，實軸長的一半稱為半實軸。）

(2) 2b——虛軸（在标準方程中令x=0，得y²=-b²，該方程無實根，為便于作圖，在y軸上畫出B1（0，b）和B2（0，-b），以B1B2為虛軸。）

(3) 2c——焦距（雙曲線的兩焦點之間的距離稱為焦距，用2c表示。）

(4) e——離心率

e愈小，漸近線與x軸的夾角愈小

(5) 頂點：

A1(-a，0)，A2(a，0)

B1(0，-b)，B2(0，b)

B1、B2叫虛頂點

(6) 焦點：F1(-c，0)

F2(c，0)

(7) 焦點半徑：

r1＝PF1，r2＝PF2

r1＝±(ex-a)，

r2＝±(ex a)

4、抛物線

1）抛物線的曲線圖

2）抛物線的方程式

(1)直角坐标方程

(2)極坐标方程

(極點在抛物線頂點O點)

(3)參數方程

(4)準線

3）抛物線的定義與特性

動點P到一定點F(焦點)和一定直線l ( 準線)的距離相等時，動點P的軌迹(︱PF︱＝︱PQ︱)

4)備注

（1）離心率e＝1

（2）頂點O(0，0)

（3）焦點

p——焦點至準線的距離，p 愈大抛物線開口愈大，p稱為焦參數，p＞0開口向右，p＜0開口向左

（4）焦點半徑：r＝PF

5、漸開線

1）漸開線的曲線圖

2）漸開線的方程式

（1）極坐标方程

R——基圓半徑 α——壓力角

（2）參數方程

R——基圓半徑 α——壓力角

3）漸開線的定義與特性

一動直線m(發生線)沿一定圓O(基圓)作無滑滾動時，m上任意點(如起始切點A)的軌迹。用于齒形等

6、阿基米德螺線（等進螺線）

1）阿基米德螺線（等進螺線）的曲線圖

2）阿基米德螺線（等進螺線）的方程式

極坐标方程：ρ＝αθ

說明：

θ——極角

ρ——極徑

O——極點

極點到曲線上任一點的弧長為

3）阿基米德螺線（等進螺線）的定義與特性

動點沿着等速旋轉(角速度ω)的圓的半徑，作等速直線運動(線速度υ)此動點軌迹為阿基米德螺線。用于凸輪等

7、對數螺線（等角螺線）

1）對數螺線（等角螺線）的曲線圖

2）對數螺線（等角螺線）的方程式

極坐标方程:

(m，a為常數，均大于零)

(m，a為常數，均大于零)

說明：

θ——極角

ρ——極徑

α——極徑與切線(動點運動方向)間的夾角

曲線上任意兩點間的弧長為

3）對數螺線（等角螺線）的定義與特性

動點的運動方向始終與極徑保持定角α的動點軌迹。用于渦輪葉片等。用對數螺線作為成型鏟齒銑刀鏟背的輪廓線時，前角恒定不改變

8、圓柱螺旋線

1）圓柱螺旋線的曲線圖

2）圓柱螺旋線的方程式

參數方程

(右旋為“ ”，左旋為“-”)

說明：

r——圓柱底半徑

β——螺旋角

h——導程

h＝2πrcotβ

L——一個導程的弧長

3）圓柱螺旋線的定義與特性

圓柱面上的動點M繞定軸z以等角速ω回轉，同時沿z軸以等速υ平移，其動點軌迹就是圓柱螺旋線。用于彈簧等

9、圓錐螺旋線

1）圓錐螺旋線的曲線圖

2）圓錐螺旋線的方程式

參數方程

x＝ρsinαcosθ

y＝ρsinαsinθ

z＝ρcosα

ρ＝aθ

（a——常數；α——半錐角）

3）圓錐螺旋線的定義與特性

特性：

(1)等螺距：h＝2πacosα

(2)切角與錐面母線夾角β

10、圓錐對數螺旋線

1）圓錐對數螺旋線的曲線圖

2）圓錐對數螺旋線的方程式

參數方程：

α——半錐角 ； ρ0，β——常數

3）圓錐對數螺旋線的定義與特性

1.不等螺距

2.切線與錐面母線夾角為定角β

11、外擺線

1）外擺線的曲線圖

2）外擺線的方程式

參數方程：

說明：

a——基圓半徑

b——滾圓半徑

θ——公轉角

θ1——自轉角

l＝O1P，當

l＝b，為普通擺線Г

l＞b，為長幅擺線Г2

l＜b，為短幅擺線Г1

3）外擺線的定義與特性

滾動圓 O1，沿基圓 O外部相切滾動，滾動圓上某點P(或圓外P"，圓内P')的軌迹

當内外擺線的a → ∞時，擺線轉化為平擺線，當b→∞時，擺線轉化為圓的漸開線

12、内擺線

1）内擺線的曲線圖

2）内擺線的方程式

參數方程：

3）内擺線的定義與特性

滾動圓O1在基圓O内部相切滾動，滾動圓上某點P(或圓外P"，圓内P')的軌迹

13、平擺線

1）平擺線的曲線圖

2）平擺線的方程式

參數方程：

x＝bt-lsint

y＝b-lcost

說明：

曲率半徑＝2PM

一拱弧長＝8b

l＝O1P，當

l＝b，為普通平擺線

l＞b，為長幅平擺線

l＜b，為短幅平擺線

3）平擺線的定義與特性

定圓沿定直線滾動，圓周上(或圓外，圓内)一點的軌迹

14、懸鍊線

1）懸鍊線的曲線圖

2）懸鍊線的方程式

直角坐标方程：

a——正常數，即距離OA。在頂點附近近似于抛物線：

3）懸鍊線的定義與特性

兩端懸吊的密度均勻的完全柔軟曲線，在重力作用下的自然狀态所構成的曲線

未完待續。下次更新《常用幾何體的面積、體積及重心位置》。敬請期待……