很多人想知道，複合函數有沒有凸性法則。沒錯，這個法則的确是存在的。但它的局限性也比較強。隻有當外函數單調增，且外函數和内函數有相同的凸性時，複合函數的凸性才能被确定。

即：在外函數單調增的前提下，如果内函數和外函數在各自對應的定義域上上凸，那麼複合函數就上凸；如果内函數和外函數在各自對應的定義域上下凸，那麼複合函數就下凸。其中外函數的定義域包含内函數的值域。複合函數的定義域和内函數的定義域相同。下面老黃把它當作一道證明題來證明。

若f為I上的凸函數，g在J(f(I)⊂J)上遞增，且凸性相同.

證明： g◦f在I上有相同的凸性.

分析：證明凸性，都是在定義域上任取兩點x1,x2，和一個小于1的正數λ。通過證明：上凸則任兩點之間的曲線在割線上方，下凸則任兩點之間的曲線在割線下方，并用通過定義的不等式來表示出來的。

證：設x1,x2為I上的任意兩點, λ∈(0,1)，

若f上凸, 則f(λx1 (1-λ)x2)≥λf(x1) (1-λ)f(x2),

f(λx1 (1-λ)x2), λf(x1) (1-λ)f(x2)∈f(I)⊂J, 且g在J上遞增，

∴g(f(λx1 (1-λ)x2))≥g(λf(x1) (1-λ)f(x2)),【如果g遞減，就不會有下面的遞推不等式關系】

又g在J上上凸，∴g(λf(x1) (1-λ)f(x2))≥λg(f(x1)) (1-λ)g(f(x2)),

∴g(f(λx1 (1-λ)x2))≥λg(f(x1)) (1-λ)g(f(x2)),【這是兩個不等式遞推的結果】

即(g◦f)(λx1 (1-λ)x2))≥λ(g◦f)(x1) (1-λ)(g◦f)(x2),

∴g◦f為I上的上凸函數.

若f下凸, 則f(λx1 (1-λ)x2)≤λf(x1) (1-λ)f(x2),

f(λx1 (1-λ)x2), λf(x1) (1-λ)f(x2)∈f(I)⊂J, 且g在J上遞增，

∴g(f(λx1 (1-λ)x2))≤g(λf(x1) (1-λ)f(x2)), 【可能直觀會覺得，上凸時外函數單調增，下凸時外函數就單調減。事實并非如此哦，不論上凸還是下凸，都是要求外函數單調增的，這樣才會有下面的遞推不等式關系成立】

又g在J上下凸，∴g(λf(x1) (1-λ)f(x2))≤λg(f(x1)) (1-λ)g(f(x2)),

∴g(f(λx1 (1-λ)x2))≤λg(f(x1)) (1-λ)g(f(x2)),【同樣是兩個不等式遞推的結果】

即(g◦f)(λx1 (1-λ)x2))≤λ(g◦f)(x1) (1-λ)(g◦f)(x2),

∴g◦f為I上的下凸函數.

因此，不論f,g同為上凸函數，還是f,g同為下凸函數，隻要g單調增，就有複合函數g◦f在I上有相同的凸性. 得證！

結論：外函數單調增，且内外函數在各自的定義域上凸性相同時，複合函數有相同的凸性.

例：内函數f(x)=x^2在R上下凸；外函數g(x)=e^x在[0, ∞)上下凸且單調增；∴y=e^(x^2)是R上的下凸函數. 觀察函數的圖像，你能理解其中的原理嗎？

如果你能夠說明y=e^(2x)的凸性. 就說明你已經理解其中的原理了。

這次以g(x)=e^x為内函數，它在R上是下凸的；以f(x)=x^2，它在g(x)的值域(0, ∞)上下凸且單調增；∴y=e^(2x)是R上的下凸函數.

也可以理解為f(x)=2x是内函數，它在R上是一條直線，直線即可以理解為上凸函數，也可以理解為下凸函數，而g(x)=e^x又成了外函數，它在R上是下凸且單調增的，∴y=e^(2x)是R上的下凸函數. 函數的圖像如下：

但是如果不能同時滿足外函數單調增，和内外函數凸性相同，這兩個必要條件，就無法用複合函數的這個凸性法則來判斷了。比如函數y=e^(-x^2)，它就無法同時滿足這兩個條件，因此，我們并無法用這個法則來判斷它的凸性。不過我們仍有其它辦法來确定它的凸性區間，這些方法，老黃在其它作品都有過介紹。

不論什麼知識，在會用的人手裡，都會很有用的。不過這個法則，應該有不少人無法很好地應用它。因為它的應用性并不會非常廣泛。對大多數人來說，可能隻是用它來加深對凸函數的性質的理解的吧。