數列，在高中階段可是折磨了我們好長時間，等到了大學的時候本以為即将擺脫，誰想我們那麼喜愛數學咧，╰(*°▽°*)╯，所以我們迎來了高等數學。不止要學習學習數列，還要會求數列極限喲，那就跟着小編來先複習複習高中學過的數列知識吧。

數列是數學研究中一個重要的領域，是以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數，是一列有序的數。這麼拗口，其實就是一堆有順序的數。那這一個一個的數都有一個高大上的名字，叫做這個數列的項，如果是排在第一位的自然就稱為第一項喽，既然是排在第一位的嘛，自然還有其他稱呼，比如比賽中第一名叫冠軍，比賽獲得第一名叫金獎，那數列的第一項通常也叫做首相(項)。那其他的項排在第幾位就叫做第幾項喽。數列通常用a(n)來表示。

在數列中，比較出名的數列有斐波那契數列，三角函數，卡特蘭數，楊輝三角等。這對數列可是很有用的呢，除了會變化出各種習題之外，還是計算機專業拿來學習編程時練手的項目呢。

數列其實就是一種特殊的函數。其特殊性主要表現在其定義域和值域上。數列可以看作一個定義域為正整數集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

那既然數列是一種特殊的函數，那就可以用函數的觀點來認識數列，一般情況下函數有三種表示方法，數列也不例外，主要有：列表法；圖像法；解析法。其中解析法包括以通項公式給出數列和以遞推公式給出數列。

函數不一定有解析式，同樣數列也并非都有通項公式。但是，數列有一般形式，數列的一般形式可以寫成: a1, a2, a3, ..., a(n), a(n 1)...， 簡記為{an}。

數列中的項必須是數，它可以是實數，也可以是複數。

用符号{a(n)}表示數列，不要看着很像集合，其實隻不過是“借用”集合的符号，它們之間有本質上的區别：

1.集合中的元素是互異的，而數列中的項可以是相同的。

2.集合中的元素是無序的，而數列中的項必須按一定順序排列，也就是必須是有序的。

（1）有窮數列和無窮數列：

項數有限的數列為“有窮數列”，項數無限的數列為“無窮數列”。

（2）對于正項數列：（數列的各項都是正數的為正項數列）

從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列叫做遞增數列；如：1，2，3，4，5，6，7；

從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列叫做遞減數列；如：8，7，6，5，4，3，2；

從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列叫做擺動數列（搖擺數列）；

（3）周期數列：各項呈周期性變化的數列叫做周期數列（如三角函數）；

（4）常數數列：各項相等的數列叫做常數數列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。

（1）通項公式：數列的第n項a(n)與項的序數n之間的關系可以用一個公式a(n)=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式，比如: a(n)=(-1)^(n 1) 1 。

數列通項公式的特點：

a. 有些數列的通項公式可以有不同形式，即不唯一；

b.有些數列沒有通項公式（如：素數由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。

（2）遞推公式：如果數列{a(n)}的第n項與它前一項或幾項的關系可以用一個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的遞推公式。數列遞推公式特點：

a. 有些數列的遞推公式可以有不同形式，即不唯一。

b. 有些數列沒有遞推公式，即使有遞推公式不一定有有通項公式。

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示，前n項和用S(n)表示。等差數列的通項公式為a(n)=a1 (n-1) * d, 其中，n=1時, a1=s1, n≥2時，a(n) = s(n) - s(n-1)

等差中項: 由三個數a，A，b組成的等差數列堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的等差中項。滿足關系：A=(a b)÷2。

前n項和的推導，使用倒序相加法推導。

所以S(n)=(n(a1 a(n))) / 2

也可以推導出以下公式：

a1=2S(n) / n-a(n)

a(n)=2S(n) / n-a1

S(2n-1)=(2n-1) * a(n)

S(2n 1)=(2n 1)a(n 1)

性質:

（1）任意兩項a(m)，a(n)的關系為：a(n)=a(m) (n-m)d，它可以看作等差數列廣義的通項公式。

（2）從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a1 a(n)=a2 a(n-1)=a3 a(n-2)=…=a(k) a(n-k 1)，k∈N*。

（3）若m，n，p，q∈N*，且m n=p q，則有a(m) a(n)=a(p) a(q)。

（4）對任意的k∈N*，有S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(nk)-S((n-1)k)…成等差數列。

應用：日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種産品的尺寸劃分級别時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。銀行金融業務中也有所涉及，比如按揭貨款的計算等等，︿(￣︶￣)︿還有一個重大用處就是考公務員和考試喽。

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示。其通項公為a(n)=a1 * q^(n - 1), 首相為a1, 公比為q。

等比中項： 如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那麼G叫做a與b的等比中項。有如下關系:

G²=a * b, G = ±√(a * b)

兩個非零同号的實數的等比中項有兩個，它們互為相反數，所以是a、G、b三數成等比數列的必要不充分條件。

前n項和推導如下：

當q=1時，等比數列的前n項和的公式為：S(n) = n * a1

前n項和與通項的關系： 當n=1的時候 a(n)=a1=s1, 當n>1的時候 a(n) = S(n) - S(n - 1)

性質

（1）若 m、n、p、q∈N*，且m n=p q，則 a(m) * a(n) = a(p) * a(q)

（2）在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列。

（3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：a1 * a(n) = a2 * a(n-1) =...=a(k) * a(n-k 1), k ∈{1, 2, ... n}

（4）等比中項：q、r、p成等差數列，則 a(q) * a(p) = a²(r) , a(r)則為a(p), a(q)的等比中項。

應用: 等比數列在生活中也是常常運用的。如：銀行有一種支付利息的方式---複利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。按照複利計算本利和的公式：本利和=本金*(1 利率)^存期。