幽靈無窮小：第二次數學危機

“對于數學，嚴格性不是一切，但是沒有了嚴格性就沒有了一切。”牛頓一生好鬥，幾乎從未輸過，但他未曾料到，在他逝世後竟有人乘機揪起了他的“嚴格性”小辮子。

1734年，英國大主教貝克萊寫了一本書,對當時的微積分一連發出67問，直搗微積分的基礎，攻擊的對象正是無窮小量在解釋上所帶來的緻命“嚴格性”缺陷。

在古典世界裡，牛頓他們賦予了導數和微分一種直觀通俗的意義，導數是兩個微小變量的比值：dx/dy，dy和dx都是無窮小量。例如，在求函數y=x²的導數時,計算如下：

虔誠的基督徒貝克萊毫不客氣地諷刺牛頓在處理無窮小量時簡直是睜着眼睛說瞎話，第一步，把無窮小量dx當作分母進行除法(分母不能為0)，并将分母dx約分；第二步,又把無窮小量dx看作0，以去掉那些包含它的項， dx中的dx被直接忽略了。所以，無窮小量究竟是不是0？

一會兒為0，一會兒又不能為0，這不是前後矛盾嗎？不僅如此，在當時的人看來，無窮小量比任何大于0的數都小，卻不是0，這不是違背了阿基米德公理嗎？

阿基米德公理又稱為阿基米德性質，也稱實數公理，是一個關于實數性質的基本原理。如果阿基米德公理是錯的，那麼整個數學界大概都無法建立。其定義為:對任一正數ε,有自然數n滿足1/n<ε。而無窮小量的解釋似乎是在闡述“不存在自然數n滿足1/n<ε”。

這樣一個被人诟病的無窮小量，真的能支撐起微積分這項偉大的成果嗎？這個矛盾，史稱貝克萊悖論，當時不少學者其實也認識到了無窮小量帶來的麻煩。但是，這樣一個悖論，不僅牛頓解釋不清，萊布尼茨解釋不清，整個數學界也沒人能解釋得清。

這樣一個人為的概念，使數學的基本對象—實數結構變得混亂，數學界和哲學界甚至為此引發了長達一個半世紀的争論，它造成了第二次數學危機。

現代理論的特點之一就是“叙述邏輯清晰,概念内涵明确，不能有含糊，”而微積分的誕生并不是嚴格按照“邏輯線路”線性發展而是通過實際應用歸納推理産生的，這就很難經得起演繹推理的邏輯推敲。所以，在牛頓和萊布尼茨之後，數學家們為此做出了無數努力，最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人解決了這個問題。

解決辦法就是，抛卻微分的古典意義，基于極限的概念，重新建立了微積分。

19世紀，法國數學家柯西确立了以極限理論為基礎的現代數學分析體系，用現代極限理論說明了導數的本質，他将導數明确定義為一個極限表達式。

設函數y=f(x)在點f的某鄰域内有定義，令x=x △x，△y=f(x △x)-f(x)。若極限 lim y=limf(x0 △x)-f(x)=f(x)存在

且有限,則稱函數y=(x)在點x處可導，并稱該極限為函數y=f(x)在點x處的導數，記作f(x)；否則，則稱函數y=f(x)在點x處不可導。

極限的概念使數學家們對無窮小量的争議逐漸偃旗息鼓。直觀通俗的古典微分定義也被重新诠釋，它不再局限于微小變量，在極限助攻下成了一個線性函數，用來表達函數的變化意義。

不過也有人抨擊極限lim的模棱兩可，但當“現代分析學之父”魏爾斯特拉斯用ε-δ語言一舉克服了“limit困難”後，那些質疑的聲音也都不再具有任何威懾力。

魏爾斯特拉斯為極限量身打造了一套精确完美的定義。

設函數f(x)在x的某個“去心鄰域”内有定義,則任意給定一個ε>0，存在一個δ>0，使得當0<|x-xº|<δ時,不等式|f(x)-A|<ε都成立，則稱A是函數f(x)當x趨于x時的極限，記成

lim f(x)= A

至此，第二次數學危機圓滿度過。

那個一心想推翻整個微積分理論的頑固主教貝克萊，無論如何也想不到自己最終卻促進了數學理論的發展，微積分也由此穩坐數學界的“霸主”地位。