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微積分導數知識
微積分導數知識
更新时间:2025-04-04 10:42:02

顯然,我們在曲線的一點上定義了切線,那麼在平滑曲線的其它點上也能定義切線。因為每條切線都有一個斜率,所以,曲線上的任何一點都有一個斜率值跟它對應。兩個量之間存在一種對應關系,這是什麼?這就是函數啊。

函數y=f(x)不就是告訴我們:給定一個x,就有一個y跟它對應麼?現在我們是給定一個點(假設橫坐标為x),就有一個斜率dy/dx跟它對應。顯然,這也是個函數,這個函數就叫導函數,簡稱導數

在中學的時候,我們通常在函數f(x)的右上角加上一撇表示這個函數的導數,那麼現在這兩種情況就都表示導數:

微積分導數知識(微積分發展史8:導數的概念)1

所以,導數f’(x)就可以表示橫坐标為x的地方對應切線的斜率,它表示曲線在這一點上的傾斜程度。如果導數f’(x)的值比較大,曲線就比較陡,f’(x)比較小,曲線就比較平緩。于是,我們就可以用導數來描述曲線的傾斜程度了。

這還是我們前面說的抛物線,它的函數圖像是這樣的:

微積分導數知識(微積分發展史8:導數的概念)2

求函數的導數,就是求函數在每一點切線的斜率,而切線就是曲線上兩個相距無窮小的點确定的直線。

那就好說了,我們假設曲線上有一個橫坐标為x的點,那麼,跟它距離無窮小的點的橫坐标就是x dx,由于這個點也在曲線f(x)=x²上,所以它的縱坐标就是(x dx)²,即:

微積分導數知識(微積分發展史8:導數的概念)3

然後,我們用這兩個點的縱坐标之差f(x dx)-f(x)除以橫坐标之差(x dx)-x就能算出x點的切線斜率。因為這個x是任意取的,所以得到的結果就是任意點的切線斜率,那麼這就是導數了:

微積分導數知識(微積分發展史8:導數的概念)4

到這一步都很簡單,接下來就有問題了:這上面和下面的dx到底能不能約掉?

我們知道,除數是不能為0的,如果你想分子分母同時除以一個數,就必須保證這個數不是0。現在我們是想除以dx,這個dx就是我們前面定義的無窮小量,它無限接近于0卻又不等于0。

所以,似乎我們姑且把它當作一個非零的量直接給約掉,那麼導數上下同時除以dx就成了這樣:

微積分導數知識(微積分發展史8:導數的概念)5

這個式子看起來簡潔了一些,但是後面還是拖了一個小尾巴dx。

2x是一個有限的數,一個有限的數加上一個無窮小量,結果是多少?似乎還是應該等于這個具體的數。比如,100加上一個無窮小,結果應該還是100,因為如果等于100.00…0001那就不對了,無窮小肯定比你所有能給出的數還小啊,那麼也肯定必須比0.00…001還小。

所以,我們似乎又有充足的理由把2x後面的這個dx也給去掉,就像丢掉一個等于0的數一樣,這樣最終的導數就可以簡單地寫成這樣:

微積分導數知識(微積分發展史8:導數的概念)6

大家看這個導數,當x越來越大(x>0)的時候,f(x)’的值也是越來越大的。而導數是用來表示函數的傾斜程度的,也就是說,當x越來越大的時候,曲線就越來越陡,這跟圖像完全一緻。

所以,我們通過約掉一個(非零的)dx,再丢掉一個(等于零的)dx得到的導數f(x)’=2x竟然是正确的。

但是這邏輯上就很奇怪了:一個無限趨近于0的無窮小量dx到底是不是0?如果是0,那麼為什麼可以讓分子分母同時除以它來約分;如果不是0,那又為什麼可以把它随意舍棄?

總不能同時等于零不等于零吧?你又不是薛定谔家的無窮小量。

微積分導數知識(微積分發展史8:導數的概念)7

數學不是變戲法,怎麼能這麼随意呢?于是,這個無窮小量就又招來了一堆批判。為什麼說“又”呢?因為我在前面講積分的時候就說了一次,在這裡就體現得更明顯了,眼見第二次數學危機大兵壓境~

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