顯然，我們在曲線的一點上定義了切線，那麼在平滑曲線的其它點上也能定義切線。因為每條切線都有一個斜率，所以，曲線上的任何一點都有一個斜率值跟它對應。兩個量之間存在一種對應關系，這是什麼？這就是函數啊。

函數y=f(x)不就是告訴我們：給定一個x，就有一個y跟它對應麼？現在我們是給定一個點（假設橫坐标為x），就有一個斜率dy/dx跟它對應。顯然，這也是個函數，這個函數就叫導函數，簡稱導數。

在中學的時候，我們通常在函數f(x)的右上角加上一撇表示這個函數的導數，那麼現在這兩種情況就都表示導數：

所以，導數f’(x)就可以表示橫坐标為x的地方對應切線的斜率，它表示曲線在這一點上的傾斜程度。如果導數f’(x)的值比較大，曲線就比較陡，f’(x)比較小，曲線就比較平緩。于是，我們就可以用導數來描述曲線的傾斜程度了。

這還是我們前面說的抛物線，它的函數圖像是這樣的：

求函數的導數，就是求函數在每一點切線的斜率，而切線就是曲線上兩個相距無窮小的點确定的直線。

那就好說了，我們假設曲線上有一個橫坐标為x的點，那麼，跟它距離無窮小的點的橫坐标就是x dx，由于這個點也在曲線f(x)=x²上，所以它的縱坐标就是(x dx)²，即：

然後，我們用這兩個點的縱坐标之差f(x dx)-f(x)除以橫坐标之差(x dx)-x就能算出x點的切線斜率。因為這個x是任意取的，所以得到的結果就是任意點的切線斜率，那麼這就是導數了：

到這一步都很簡單，接下來就有問題了：這上面和下面的dx到底能不能約掉？

我們知道，除數是不能為0的，如果你想分子分母同時除以一個數，就必須保證這個數不是0。現在我們是想除以dx，這個dx就是我們前面定義的無窮小量，它無限接近于0卻又不等于0。

所以，似乎我們姑且把它當作一個非零的量直接給約掉，那麼導數上下同時除以dx就成了這樣：

這個式子看起來簡潔了一些，但是後面還是拖了一個小尾巴dx。

2x是一個有限的數，一個有限的數加上一個無窮小量，結果是多少？似乎還是應該等于這個具體的數。比如，100加上一個無窮小，結果應該還是100，因為如果等于100.00…0001那就不對了，無窮小肯定比你所有能給出的數還小啊，那麼也肯定必須比0.00…001還小。

所以，我們似乎又有充足的理由把2x後面的這個dx也給去掉，就像丢掉一個等于0的數一樣，這樣最終的導數就可以簡單地寫成這樣：

大家看這個導數，當x越來越大（x>0）的時候，f(x)’的值也是越來越大的。而導數是用來表示函數的傾斜程度的，也就是說，當x越來越大的時候，曲線就越來越陡，這跟圖像完全一緻。

所以，我們通過約掉一個（非零的）dx，再丢掉一個（等于零的）dx得到的導數f(x)’=2x竟然是正确的。

但是這邏輯上就很奇怪了：一個無限趨近于0的無窮小量dx到底是不是0？如果是0，那麼為什麼可以讓分子分母同時除以它來約分；如果不是0，那又為什麼可以把它随意舍棄？

總不能同時等于零又不等于零吧？你又不是薛定谔家的無窮小量。

數學不是變戲法，怎麼能這麼随意呢？于是，這個無窮小量就又招來了一堆批判。為什麼說“又”呢？因為我在前面講積分的時候就說了一次，在這裡就體現得更明顯了，眼見第二次數學危機大兵壓境~