首页
/
每日頭條
/
圖文
/
微積分導數知識
微積分導數知識
更新时间:2025-04-02 19:00:27

顯然,我們在曲線的一點上定義了切線,那麼在平滑曲線的其它點上也能定義切線。因為每條切線都有一個斜率,所以,曲線上的任何一點都有一個斜率值跟它對應。兩個量之間存在一種對應關系,這是什麼?這就是函數啊。

函數y=f(x)不就是告訴我們:給定一個x,就有一個y跟它對應麼?現在我們是給定一個點(假設橫坐标為x),就有一個斜率dy/dx跟它對應。顯然,這也是個函數,這個函數就叫導函數,簡稱導數

在中學的時候,我們通常在函數f(x)的右上角加上一撇表示這個函數的導數,那麼現在這兩種情況就都表示導數:

微積分導數知識(微積分發展史8:導數的概念)1

所以,導數f’(x)就可以表示橫坐标為x的地方對應切線的斜率,它表示曲線在這一點上的傾斜程度。如果導數f’(x)的值比較大,曲線就比較陡,f’(x)比較小,曲線就比較平緩。于是,我們就可以用導數來描述曲線的傾斜程度了。

這還是我們前面說的抛物線,它的函數圖像是這樣的:

微積分導數知識(微積分發展史8:導數的概念)2

求函數的導數,就是求函數在每一點切線的斜率,而切線就是曲線上兩個相距無窮小的點确定的直線。

那就好說了,我們假設曲線上有一個橫坐标為x的點,那麼,跟它距離無窮小的點的橫坐标就是x dx,由于這個點也在曲線f(x)=x²上,所以它的縱坐标就是(x dx)²,即:

微積分導數知識(微積分發展史8:導數的概念)3

然後,我們用這兩個點的縱坐标之差f(x dx)-f(x)除以橫坐标之差(x dx)-x就能算出x點的切線斜率。因為這個x是任意取的,所以得到的結果就是任意點的切線斜率,那麼這就是導數了:

微積分導數知識(微積分發展史8:導數的概念)4

到這一步都很簡單,接下來就有問題了:這上面和下面的dx到底能不能約掉?

我們知道,除數是不能為0的,如果你想分子分母同時除以一個數,就必須保證這個數不是0。現在我們是想除以dx,這個dx就是我們前面定義的無窮小量,它無限接近于0卻又不等于0。

所以,似乎我們姑且把它當作一個非零的量直接給約掉,那麼導數上下同時除以dx就成了這樣:

微積分導數知識(微積分發展史8:導數的概念)5

這個式子看起來簡潔了一些,但是後面還是拖了一個小尾巴dx。

2x是一個有限的數,一個有限的數加上一個無窮小量,結果是多少?似乎還是應該等于這個具體的數。比如,100加上一個無窮小,結果應該還是100,因為如果等于100.00…0001那就不對了,無窮小肯定比你所有能給出的數還小啊,那麼也肯定必須比0.00…001還小。

所以,我們似乎又有充足的理由把2x後面的這個dx也給去掉,就像丢掉一個等于0的數一樣,這樣最終的導數就可以簡單地寫成這樣:

微積分導數知識(微積分發展史8:導數的概念)6

大家看這個導數,當x越來越大(x>0)的時候,f(x)’的值也是越來越大的。而導數是用來表示函數的傾斜程度的,也就是說,當x越來越大的時候,曲線就越來越陡,這跟圖像完全一緻。

所以,我們通過約掉一個(非零的)dx,再丢掉一個(等于零的)dx得到的導數f(x)’=2x竟然是正确的。

但是這邏輯上就很奇怪了:一個無限趨近于0的無窮小量dx到底是不是0?如果是0,那麼為什麼可以讓分子分母同時除以它來約分;如果不是0,那又為什麼可以把它随意舍棄?

總不能同時等于零不等于零吧?你又不是薛定谔家的無窮小量。

微積分導數知識(微積分發展史8:導數的概念)7

數學不是變戲法,怎麼能這麼随意呢?于是,這個無窮小量就又招來了一堆批判。為什麼說“又”呢?因為我在前面講積分的時候就說了一次,在這裡就體現得更明顯了,眼見第二次數學危機大兵壓境~

,
Comments
Welcome to tft每日頭條 comments! Please keep conversations courteous and on-topic. To fosterproductive and respectful conversations, you may see comments from our Community Managers.
Sign up to post
Sort by
Show More Comments
推荐阅读
十大忌諱你知道哪些(用詞這樣百無晉忌)
十大忌諱你知道哪些(用詞這樣百無晉忌)
     “有醋可吃糠,無醋肉不香。”   —— 探員手記   歡迎加入遣詞造句1班(太原群),今天我們将教授四字詞語,零基礎同學也可以參加,晉言晉語,包教包會。   不用再擔心鍵盤上的H鍵被磨平棱角,聊天隻會發紅紅火火恍恍惚惚。   本期為你準備了太原文化人都在用的四字詞語,它們都有哪些?适合在什麼場合用?   快跟上節奏解鎖新技能,把它們打包進肚吧。  ...
2025-04-02
2米高的女兒牆可以用砌體施工麼(砌體女兒牆的限制)
2米高的女兒牆可以用砌體施工麼(砌體女兒牆的限制)
  什麼情況下可采用磚做女兒牆?有何構造要求?      《非結構構件抗震設計規範》JGJ 339-2015第4.4.2條,女兒牆高度超過0.5m時、人流出入口、通道處或9度時,出屋面砌體女兒牆應設置構造柱與主體結構錨固,構造柱間距宜取2.0m~2.5m;高層建築的女兒牆,不得采用砌體女兒牆。      22G614-1具體規定   1、砌體女兒牆頂部應采用...
2025-04-02
極限挑戰7季用什麼車(漢EV廣州
極限挑戰7季用什麼車(漢EV廣州
  漢EV創世版廣州-陽江往返極限挑戰   實測續航高達701.8km   無懼遠行,即刻出發!      ,
2025-04-02
有話說随遇而安(小議随遇而安)
有話說随遇而安(小議随遇而安)
  #情感點評大賞#   文/王民官      《幽窗小記》中有這樣一副對聯:“寵辱不驚,閑看庭前花開花落。去留無意,漫随天外雲卷雲舒。”這句話的意思是說,為人做事能視寵辱如花開花落般平常,才能不驚;視職位去留如雲卷雲舒般變幻,才能無意。   看起來,人生雖然存滿了荊棘與挫折,教訓與失敗,但拿這句話一對照,就瞬時感覺天空飄來五個字:那都不叫事。“是事兒也就煩...
2025-04-02
迪士尼收購福克斯不再制作電影(二十世紀福克斯)
迪士尼收購福克斯不再制作電影(二十世紀福克斯)
  參考消息網1月19日報道美媒稱,迪士尼公司一名發言人說,該公司重新命名了2019年收購的二十世紀福克斯影業公司,去掉了“福克斯”,将其更名為“二十世紀影業公司”。   據美國《華爾街日報》網站1月17日報道,迪士尼還把二十世紀福克斯下屬的子公司、傳統上以出品低預算的藝術電影著稱的“福克斯探照燈電影公司”更名為“探照燈電影公司”。   報道稱,這一變化在兩...
2025-04-02
Copyright 2023-2025 - www.tftnews.com All Rights Reserved