平行線的判定和性質的知識是初中幾何的基礎内容，這部分知識掌握的好壞關乎整個初中幾何知識的成敗，所以同學們一定要打好這一基礎關，為後續的學習鋪平康莊大道。

☞平行線的判定，初一常用的有六種方法:①定義法，同一平面内不相交的兩條直線是平行線;②平行于同一條直線的兩條直線平行;③兩條直線被第三條直線所截，同位角相等，兩直線平行;④兩條直線被第三條直線所截，内錯角相等，兩直線平行;⑤兩條直線被第三條直線所截，用旁内角互補，兩直線平行;⑥在同一平面内，垂直于同一條直線的兩條直線平行.

☞平行線的性質:兩條平行線被第三條直線所截，①同位角相等;②内錯角相等;③同旁内角互補.

【題目呈現】

例1.如圖，在三角形ABC中，CD⊥AB，E，F，G分别在BC，AB，AC上，且EF⊥AB，∠1=∠2，試判斷DG與BC的位置關系，并說明理由.

【分析】觀察圖形，DG應與BC平行，那麼我們假定DG∥BC，看能推出的某些結論是否與已知條件相同，若相同了，則說明假定是正确的，若不相同或與已知矛盾或與某些定理矛盾，則假定是錯誤的.我們分析一下，若DG∥BC，則可推出，∠2=∠DCB，又∠1=∠2，則∠1=∠DCB，則EF∥DG，則∠BFE=∠BDC，而已知中CD⊥AB，EF⊥AB，則EF∥DG，則∠BFE=∠BDC，所以假定是正确的.另外也可以估計DG∥BC，我們看從條件是否能證出來，那麼我們就大腦中搜索證明兩線平行的六種方法，再結合圖形看如何找具體的關系，應該試着這樣考慮:①可證∠AGD=∠ACB(利用同位角相等，兩直線平行推出DG∥BC).②可證∠2=∠DCB(利用内錯角相等，兩直線平行推出DG∥BC).③可證∠ADG=∠ABC(利用同位角相等，兩直線平行推出DG∥BC).④可證∠DGC ∠GCB=180°(利用同旁内角互補，兩直線平行推出DG∥BC).⑤可證∠GDB ∠DBC=180°(利用同旁内角互補，兩直線平行推出DG∥BC).這5種方法腦海中閃過之後，結合條件∠1=∠2，題中有∠2出現，應用第②種方法為好，欲證∠2=∠DCB，則須證∠1=∠DCB，再看條件，CD⊥AB，EF⊥AB，則可推出EF∥DC，則可得到，∠1=∠DCB，這樣問題得證.可見，有了方法之後，還看步步結合條件，步步為營，直到解決問題，這是初學者必須掌握的最基本的證明方法.分析完之後，初學者還要掌握正确的書寫步驟，大多同學手懶，不寫，不想寫，有很多同學到了初二，初三也不會寫步驟，以緻明知該題如何做，考分下來之後不理想，所以我們要多寫，勤寫，準确寫出具體步驟，初一寫步驟過關之後，初二初三就輕松得多了，而且幾何證明題，能證出來就能寫出來.

【解題過程】

解:DG∥BC.理由知下:

∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，

∴CD∥EF(在同一平面内，垂直于同一直線的兩直線平行)，

∴∠1=∠DCB(兩直線平行，同位角相等).

又∵∠1=∠2(已知)，

∴∠2=∠DCB(等量代換)，

∴DG∥BC(内錯角相等，兩直線平行).

【對應練習】

☞1.如圖，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分別為D，G，且∠ADE=∠CFG，求證DE∥AC.

2.如圖，已知∠ABC=180°一∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F.

(1)求證:AD∥BC;

(2)若∠1=36°，求∠2的度數.

例2.如圖，已知∠1 ∠2=180°，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠C的大小關系.

【分析】估計∠AED=∠C，看通過條件能否推出，欲證∠AED=∠C，須證∠ADE=∠B，(有的同學問，你怎麼就知道證∠ADE=∠B呢？其實也可以從其他方面想，因為條件中有∠B=∠3，出現了∠B，所以我先想到利用∠B，也就想到要證∠B=∠ADE，況且∠ADE與∠3是内錯角，而條件中也出現了∠3，若能證明了∠ADE=∠3，則就能證明了∠B=∠ADE，這樣又須證明AB∥EF，結合條件∠2的出現，又須證明∠2=∠4，而∠1 ∠2=180°，又∠1 ∠4=180°，∴∠2=∠4，∴問題圓滿得解.

【解答過程】

解:∵∠1 ∠4=180°(鄰補角定義)，

又∵∠1 ∠4=180°(已知)，

∴∠2=∠4(同角的補角相等)，

∴EF∥AB(内錯角相等，兩直線平行)，

∴∠3=∠ADE(兩直線平行，内錯角相等).

又∵∠B=∠3(已知)，

∴∠B=∠ADE(等量代換)，

∴DE∥BC(同位角相等，兩直線平行)，

∴∠AED=∠C(兩直線平行，同位角相等).

例3.如圖，已知AB∥DC，∠BAD=∠DCB，說明AD∥BC.

【分析】此題不難，可有的同學不知道要證AD∥BC，需要找哪兩個角的關系，若要用"内錯角相等，兩直線平行“，應該用∠1=∠2，而不能用∠3=∠4，若要用同旁内角互補，兩直線平行，應該用∠BAD ∠ABD=180°，或∠ADC ∠DCB=180°，而不能用∠BAD ∠ADC=180°，或∠ABC ∠DCB=180°，換句話說，有的同學不明白，内錯角相等推出哪兩條線平行;同旁内角互補推出哪兩條線平行，或者不明白，兩條直線平行，推出哪兩個角相等，哪兩個角互補.就拿本題來說，AB∥DC，∠3的邊AC與∠4的邊CA重合，AC是截線∠3的另一邊AB與∠4的另一邊CD，是被截線，兩條被截線平行，隻能推出∠3與∠4這一對内錯角相等，而推不出∠1=∠2，∠1的邊AC雖然與∠2的邊CA重合為AC，但∠1的另一邊是AD，∠2的另一邊是BC，它們兩邊既不是AB又不是CD，∴AB∥CD隻能推出∠3=∠4，可見，兩線平行，隻能推出與兩線有關的角的關系，同樣通過兩角的關系也隻能推出與角有關的線平行，而且是被截線平行，明白了這層關系本題也就解答了.

【解答過程】

解:∵AB∥DC(已知)，

∴∠3=∠4(兩直線平行，内錯角相等).

又∠1=∠BAD一∠3，∠2=∠DCB一∠4，且∠BAD=∠DCB(已知)，

∴∠1=∠2(等式的性質)，

∴AD∥BC(内錯角相等，兩直線平行).

當然本題也可用同旁内角互補證得.

例4.如圖，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1 ∠2=180°，試判斷BF和AC的關系，并說明理由.

【分析】BF與AC的關系應是互相垂直，題中已有DE⊥AC，則隻要推出BF∥DE即可，從圖看，應證∠2 ∠3=180°，再結合∠1十∠2=180°，應證∠1=∠3，須證FG∥BC，而又有條件∠AGF=∠ABC，則可得FG∥BC，得證.

【解答過程】

解:BF和AC的關系是互相垂直，理由如下:

∵∠AGF=∠ABC(已知)，

∴GF∥BC(同位角相等，兩直線平行)，

∴∠1=∠3(兩直線平行，内錯角相等).

∵∠1 ∠2=180°(已知)，

∴∠3 ∠2=180°，

∴BF∥DE(同旁内角互補，兩直線平行)，

∴∠BFC=∠DEC(兩直線平行，同位角相等)，

∵DE⊥AC(已知)，

∴∠DEC=90°(垂直定義)，

∴∠BFC=90°，

∴BF⊥AC(垂直定義).

例5.如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，請問:AD和BC平行嗎？說明理由.

【分析】AD可能與BC平行，觀察條件，∠1=∠2，∠3=∠4，看不出什麼，而∠5=∠6，可推出ED∥AB，抓住這一條件就找到了突破口，一直推下去可得到解答，ED∥AB，可得∠3=∠7，而∠3=∠4，∴∠4=∠7，可得AE∥BD，則可得∠2=∠8，而∠2=∠1，則∠1=∠8，∴AD∥BC，得證.

【解答過程】

解:AD與BC平行，理由如下:

∵∠5=∠6(已知)，

∴ED∥AB(内錯角相等，兩直線平行)，

∴∠3=∠7(兩直線平行，内錯角相等).

∵∠3=∠4(已知)，

∴∠4=∠7(等量代換)，

∴AE∥BD(同位角相等，兩直線平行)，

∴∠2=∠8(兩直線平行，内錯角相等).

∵∠1=∠2(已知)，

∴∠1=∠8(等量代換)，

∴AD∥BC(内錯角相等，兩直線平行).

也可以這樣證，簡單寫一下，在△AED中，∠2=180°一∠4一∠6，在△ABD中，∠8=180°一∠3一∠5，而∠3=∠4，∠5=∠6，∴∠2=∠8，又∠1=∠2，∴∠1=∠8，∴AD∥BC.

【總結】相交線與平行線這部分知識一般不難，注意平行線的判定與性質的相互運用，通過平行關系，立即推角的關系，通過角的關系聯系條件，得到下一組角的關系，再得到下一組線平行，這樣相互推證，最終獲解，注意書寫規範，圖果關系明确，推證合理.

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