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學因式分解需要先學哪些基礎
學因式分解需要先學哪些基礎
更新时间:2025-04-04 06:41:20

因式分解是初中數學的一個重點,也是不少學生眼中的一個難點。一般難在兩個地方:一是不知如何下手;二是分解不徹底等失誤。

其實因式分解并不可怕,首先需要明确1個基本方向,即因式分解是要幹什麼?

因式分解實際上類似于你小學時學的分解質因數,比如30=2×3×5.因式分解最終就是要把原式分解成多個因式相乘的形式,即()()()……這裡每個括号表示一個因式,括号内都要化到最簡。因式可以是多項式,也可以是單項式,包括單獨的數字或字母。

學因式分解需要先學哪些基礎(學因式分解頭疼)1

快樂的亞洲小學女生

因式分解實際上是整式乘法的一個逆運算。就像30=2×3×5是2×3×5=30(整數乘法)的逆運算一樣。所以在你做分解擔心某一步出現失誤時,可以把你的分解結果展開看一看是不是與上面的式子相同。


解決了因式分解要幹什麼的問題,接下來就是怎麼做。我們能通過哪些辦法從一個整式裡分解出因式呢?

有這麼三個基本步驟:分組分解、提取公因式、公式/十字交叉法。

當然,這三個步驟不是在任何一道題裡都要同時使用的。

學因式分解需要先學哪些基礎(學因式分解頭疼)2

一個女孩在粉筆闆前學習數學問題a girl studying in front of a chalk

分組分解:

分組分解一般是适用于題目給出的式子項數>3的情況,常見的是4項、5項或6項,3項以内通常就不用分組了。

通常是把這些項分成2組。

對于4項的式子,一般分成1項 3項的兩組,或2項 2項兩組;

5項的話,通常是2項 3項的兩組;

6項的話,比較常見的分成3項 3項的兩組。

分組分解是為了分完組後接下來能進行後面兩個步驟。

提取公因式:

提取公因式是最好操作的步驟,也是拿到任何一個因式分解題首先要考慮的步驟。

實際上不管給出幾項的式子,首先都要看看有沒有公因式能提出來。

不過通常對于項數>3的式子,需要先分組分解後才有可能提取公因式。

公式/十字交叉法

這一步是因式分解裡的關鍵步驟,也是難點。需要掌握2個公式和一種類似于公式的方法(十字交叉法)。

其實因式分解能夠運用的公式當然不止2個,但在考試範圍内隻需要掌握平方差公式完全平方公式就足夠了。

平方差公式:a^2 - b^2 = (a b)(a-b).

完全平方公式:a^2 ± 2ab b^2 = (a±b)^2.

我們會發現,其實從公式右邊做整式乘法運算,就能得到公式左邊。要特别注意公式裡的符号。

這兩個公式一個是2項,一個3項,所以運用起來區分是比較明顯的。2項、平方相減就要考慮平方差,3項就先考慮完全平方。


十字交叉法則是完全平方公式的一個升級。(完全平方公式可以看成十字交叉法的一個特殊情況)

這種方法的原理是根據(ax by)(cx dy) = acx^2 (ad bc)xy bdy^2這個乘法做逆運算。

acx^2 (ad bc)xy bdy^2 =(ax by)(cx dy).

之所以要做十字交叉,是為了簡便地從ac、bd、ad bc這三個系數裡找出相應的a、b、c、d四個數。

看着太複雜對嗎?如果在上面的式子裡令y=1,就得到了隻含一個未知數的十字交叉應用:

acx^2 (ad bc)x bd =(ax b)(cx d).

如果再令a=c=1,那就是十字交叉法最簡單的應用:

x^2 (d b)x bd =(x b)(x d).


掌握了這三個步驟并加以綜合運用,因式分解題就不用怕啦。

學因式分解需要先學哪些基礎(學因式分解頭疼)3

最簡單的一些問題,用一步提取公因式就分解完成;複雜一些的,提取公因式之後可以再用公式/十字交叉法。項數更多的,需要先分組,再用提取公因式或公式/十字交叉法。

分解方法會了,為了提高做題時的正确率,下面再總結一下最容易失誤的兩個方面。

最容易犯的一個失誤就是分解不徹底

要保證分解徹底,就要在分解的每一步都重新審視當前的式子,化簡每個括号裡的因式,看看能否再用提取公因式或式/十字交叉法繼續進行分解,直到每個括号裡的因式都分無可分。

舉例來說,最容易分解不徹底的是a^4-b^4這種,按平方差分解出的a^2-b^2又可以繼續用平方差分解;或者(a^2 b^2)^2-(2ab)^2這種,按平方差分解出的a^2±2ab b^2又可以繼續用完全平方分解。

另一個最容易出現的失誤是在提取公因式時的運算失誤。要注意2點,一是對于提出一個帶負号的公因式,提出後每一項都要相應變符号(這相當于去括号運算的逆運算);二是式子裡的某一項就是整個式子的公因式,那提出來之後不要漏掉這一項變成的1.

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