高中數學：高中數學如何利用數學公式，快速解題

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1 . 适用條件

[直線過焦點]，必有ecosA=(x-1)/(x 1)，其中A為直線與焦點所在軸夾角，是銳角。x為分離比，必須大于1。

注：上述公式适合一切圓錐曲線。如果焦點内分(指的是焦點在所截線段上)，用該公式;如果外分(焦點在所截線段延長線上)，右邊為(x 1)/(x-1)，其他不變。

2 . 函數的周期性問題(記憶三個)

(1)若f(x)=-f(x k)，則T=2k;

(2)若f(x)=m/(x k)(m不為0)，則T=2k;

(3)若f(x)=f(x k) f(x-k)，則T=6k。

注意點：

a.周期函數，周期必無限 ；

b.周期函數未必存在最小周期；如：常數函數。

c.周期函數加周期函數未必是周期函數，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函數。

3 . 關于對稱問題總結如下

(1)若在R上(下同)滿足：f(a x)=f(b-x)恒成立，對稱軸為x=(a b)/2；

(2)函數y=f(a x)與y=f(b-x)的圖像關于x=(b-a)/2對稱;

(3)若f(a x) f(a-x)=2b，則f(x)圖像關于(a，b)中心對稱。

4 . 函數奇偶性

(1)對于屬于R上的奇函數有f(0)=0;

(2)對于含參函數，奇函數沒有偶次方項，偶函數沒有奇次方項；

(3)奇偶性作用不大，一般用于選擇填空。

5. 數列爆強定律

(1)等差數列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7為下角标);

(2)等差數列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差；

(3)等比數列中，上述2中各項在公比不為負一時成等比，在q=-1時，未必成立；

(4)等比數列爆強公式：S(n m)=S(m) q²mS(n)可以迅速求q。

6 . 數列的終極利器，特征根方程

首先介紹公式：對于an 1=pan q(n 1為下角标，n為下角标)，

a1已知，那麼特征根x=q/(1-p)，則數列通項公式為an=(a1-x)p²(n-1) x，這是一階特征根方程的運用。

二階有點麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學們牢記上述公式。當然這種類型的數列可以構造(兩邊同時加數)。

7 . 函數詳解補充

1.複合函數奇偶性：内偶則偶，内奇同外；

2.複合函數單調性：同增異減；

3.重點知識關于三次函數：恐怕沒有多少人知道三次函數曲線其實是中心對稱圖形。

它有一個對稱中心，求法為二階導後導數為0，根x即為中心橫坐标，縱坐标可以用x帶入原函數界定。另外，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。

8 . 常用數列bn=n×(2²n)求和Sn=(n-1)×(2²(n 1)) 2記憶方法

前面減去一個1，後面加一個，再整體加一個2。

9 . 适用于标準方程(焦點在x軸)爆強公式

k橢=-{(b²)xo｝/{(a²)yo｝k雙={(b²)xo｝/{(a²)yo｝k抛=p/yo

注：(xo，yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點。

10 . 強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技

已知直線L1：a1x b1y c1=0直線 L2：a2x b2y c2=0；

若它們垂直：(充要條件)a1a2 b1b2=0;

若它們平行：(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1（這個條件為了防止兩直線重合)

注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺!

11 . 經典中的經典

相信鄰項相消大家都知道。

下面看隔項相消：

Sn=1/(1×3) 1/(2×4) 1/(3×5) … 1/[n(n 2)]=1/2[1 1/2-1/(n 1)-1/(n 2)]

注：隔項相加保留四項，即首兩項，尾兩項。自己把式子寫在草稿紙上，那樣看起來會很清爽以及整潔!

12. 爆強△面積公式

S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)

注：這個公式可以解決已知三角形三點坐标求面積的問題。

13 . 你知道嗎?空間立體幾何中：以下命題均錯

(1)空間中不同三點确定一個平面；

(2)垂直同一直線的兩直線平行；

(3)兩組對邊分别相等的四邊形是平行四邊形；

(4)如果一條直線與平面内無數條直線垂直，則直線垂直平面；

(5)有兩個面互相平行，其餘各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；

(6)有一個面是多邊形，其餘各面都是三角形的幾何體都是棱錐。

14 . 一個小知識點

所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。

15 . 求f(x)=∣x-1∣ ∣x-2∣ ∣x-3∣ … ∣x-n∣(n為正整數)的最小值

答案為：當n為奇數，最小值為(n²-1)/4，在x=(n 1)/2時取到;

當n為偶數時，最小值為n²/4，在x=n/2或n/2 1時取到。

16 . √〔(a² b²)〕/2≥(a b)/2≥√ab≥2ab/(a b)(a、b為正數，是統一定義域)

17 . 橢圓中焦點三角形面積公式

S=b²tan(A/2)在雙曲線中：S=b²/tan(A/2)

說明：适用于焦點在x軸，且标準的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾角。

18 . 爆強定理

空間向量三公式解決所有題目：cosA=|{向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模]

(1)A為線線夾角；

(2)A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)；(3)A為面面夾角注：以上角範圍均為[0，派/2]。

19 . 爆強公式

1² 2² 3² … n²=1/6(n)(n 1)(2n 1);1²3 2²3 3²3 … n²3=1/4(n²)(n 1)²

20 . 爆強切線方程記憶方法

寫成對稱形式，換一個x，換一個y；

舉例說明：對于y²=2px可以寫成y×y=px px；

再把(xo，yo)帶入其中一個得：y×yo=pxo px；

21 . 爆強定理

(a b c)²n的展開式[合并之後]的項數為：Cn 22，n 2在下，2在上。

22 . 轉化思想

切線長l=√(d²-r²)d表示圓外一點到圓心距離，r為圓半徑，而d最小為圓心到直線的距離。

23 . 對于y²=2px

過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD，它們的和最小為8p。

爆強定理的證明：對于y²=2px，設過焦點的弦傾斜角為A。

那麼弦長可表示為2p/〔(sinA)²〕，所以與之垂直的弦長為2p/[(cosA)²]

所以求和再據三角知識可知。

(題目的意思就是弦AB過焦點，CD過焦點，且AB垂直于CD)

等一個一鍵三連～

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