73.在矩形PQRS中，PS=4PQ，點T是AD邊上的動點，将△TPQ沿TQ翻折得△TWQ，作WX⊥PW，WX交PS于X，設PS=nPT.

（1）當W落在QR邊上時，求n的值；

（2）當W落在矩形PQRS内部且△WXR為直角三角形時，求n的值.2

圖1

翻折＝＞全等、垂直平分

（1）當W落在QR邊上時，正方形PQWT＝＞n=4

（2）當W落在矩形PQRS内部＝＞∠XRW＜∠QRS=90°＝＞∠XRW＜90°（排除∠XRW=90°）

當△WXR為直角三角形時＝＞分兩種讨論 ∠RWX=90°或∠WXR=90°

（1）如圖2，當W落在QR邊上時，∠PQW=∠PQR= 90°，

翻折＝＞∠QPT=∠QWT= 90°且PQ=QW

∴正方形PQWT＝＞PT=PQ＝＞PS=4PQ=4PT＝＞n=4

圖2

（2）當W落在矩形PQRS内部＝＞∠XRW＜∠QRS=90°＝＞∠XRW＜90°

當△WXR為直角三角形時＝＞兩種可能∠RWX=90°或∠WXR=90°

如圖3，若∠RWX=90°，WX⊥PW＝＞∠PWR=180°＝＞W在對角線PR上

圖3

矩形PQRS＝＞∠SPR＋∠QPR=90°且SR=PQ

翻折＝＞∠PQT＋∠QPR=90°

∴∠SPR=∠PQT＝＞tan∠SPR = tan∠PQT

＝＞SR：PS=PT：PQ＝＞PT=1/4PQ

PS:PT=4PQ: 1/4PQ=16＝＞PS=16PT＝＞n=16

設PQ=x，則PQ=4x，翻折＝＞TQ垂直平分PW

TY⊥PW，Y為PW中點，又XW⊥PW＝＞T為PX中點，設PT=m＝＞PX=2m

SX=4x－2m，SR=PQ=x

如圖4，若∠WXR=90°，WX⊥PW＝＞PW∥XR＝＞∠XPW=∠SXR

圖4

矩形PQRS＝＞∠XPW＋∠QPW=90°

翻折＝＞∠TQP＋∠QPW=90°

∴∠TQP=∠XPW=∠SXR＝＞tan∠TQP = tan∠SXR

＝＞PT:PQ=SR:XS＝＞m：x=x：（4x－2m）

＝＞x^2－4mx=－2m^2＝＞x^2－4mx＋4m^2=2m^2

＝＞（x－2m）^2=2m^2＝＞x－2m=√2m＝＞x=（2＋√2）m

＝＞4x=4（2＋√2）m＝＞PS=4（2＋√2）PT

＝＞n=4（2＋√2）=8＋4√2

（1）本題中，利用矩形性質:直角，對邊平行且相等；利用翻折即軸對稱，全等，垂直平分；

（2）主動點T在邊PS上的特殊位置，決定從動點W相對于矩形PQRS的位置；

（3）利用特殊時刻，發現特殊位置關系：垂直或平行，角相等；

（4）在直角三角形中，利用等角的相應三角函數值相等，列比例式比利用相似對應邊成比例更為方便。