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等腰直角三角形中最值問題
等腰直角三角形中最值問題
更新时间:2025-04-03 17:49:53

73.在矩形PQRS中,PS=4PQ,點T是AD邊上的動點,将△TPQ沿TQ翻折得△TWQ,作WX⊥PW,WX交PS于X,設PS=nPT.

(1)當W落在QR邊上時,求n的值;

(2)當W落在矩形PQRS内部且△WXR為直角三角形時,求n的值.2

等腰直角三角形中最值問題(直角三角形中利用等角三角函數值等比相似更方便實用)1

圖1

思路

翻折=>全等、垂直平分

(1)當W落在QR邊上時,正方形PQWT=>n=4

(2)當W落在矩形PQRS内部=>∠XRW<∠QRS=90°=>∠XRW<90°(排除∠XRW=90°)

當△WXR為直角三角形時=>分兩種讨論 ∠RWX=90°或∠WXR=90°

實際操作

(1)如圖2,當W落在QR邊上時,∠PQW=∠PQR= 90°,

翻折=>∠QPT=∠QWT= 90°且PQ=QW

∴正方形PQWT=>PT=PQ=>PS=4PQ=4PT=>n=4

等腰直角三角形中最值問題(直角三角形中利用等角三角函數值等比相似更方便實用)2

圖2

(2)當W落在矩形PQRS内部=>∠XRW<∠QRS=90°=>∠XRW<90°

當△WXR為直角三角形時=>兩種可能∠RWX=90°或∠WXR=90°

如圖3,若∠RWX=90°,WX⊥PW=>∠PWR=180°=>W在對角線PR上

等腰直角三角形中最值問題(直角三角形中利用等角三角函數值等比相似更方便實用)3

圖3

矩形PQRS=>∠SPR+∠QPR=90°且SR=PQ

翻折=>∠PQT+∠QPR=90°

∴∠SPR=∠PQT=>tan∠SPR = tan∠PQT

=>SR:PS=PT:PQ=>PT=1/4PQ

PS:PT=4PQ: 1/4PQ=16=>PS=16PT=>n=16

設PQ=x,則PQ=4x,翻折=>TQ垂直平分PW

TY⊥PW,Y為PW中點,又XW⊥PW=>T為PX中點,設PT=m=>PX=2m

SX=4x-2m,SR=PQ=x

如圖4,若∠WXR=90°,WX⊥PW=>PW∥XR=>∠XPW=∠SXR

等腰直角三角形中最值問題(直角三角形中利用等角三角函數值等比相似更方便實用)4

圖4

矩形PQRS=>∠XPW+∠QPW=90°

翻折=>∠TQP+∠QPW=90°

∴∠TQP=∠XPW=∠SXR=>tan∠TQP = tan∠SXR

=>PT:PQ=SR:XS=>m:x=x:(4x-2m)

=>x^2-4mx=-2m^2=>x^2-4mx+4m^2=2m^2

=>(x-2m)^2=2m^2=>x-2m=√2m=>x=(2+√2)m

=>4x=4(2+√2)m=>PS=4(2+√2)PT

=>n=4(2+√2)=8+4√2

綜述

(1)本題中,利用矩形性質:直角,對邊平行且相等;利用翻折即軸對稱,全等,垂直平分;

(2)主動點T在邊PS上的特殊位置,決定從動點W相對于矩形PQRS的位置;

(3)利用特殊時刻,發現特殊位置關系:垂直或平行,角相等;

(4)在直角三角形中,利用等角的相應三角函數值相等,列比例式比利用相似對應邊成比例更為方便。


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