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微積分基本公式總結
微積分基本公式總結
更新时间:2025-04-26 12:19:29

大家好!感謝閱讀本雞的拙作。歡迎關注哦。

先把一句話放在這,鍊式法則就是因變量對中間變量求導,乘以....中間變量對自變量求導。是兩個導數的乘積,也是約分

微積分基本公式總結(菜雞速通微積分)1

為了理解并且記住,下面開始。來啊

前面複習了導數定義和幾個求導法則。如果你還不知道導數,請看本雞導數和求導法的圖文或者任何一本微積分。今天複習一個更加重要的求導法,所謂鍊式法則,這個法則在積分理論裡對應着換元法,重要性在微積分裡面是數得着的。

回憶一下所謂導數,就極限,寫出來就是

微積分基本公式總結(菜雞速通微積分)2

你要永遠記住

可以理解成切線的斜率,速度,變化量(增量)的比率的極限。

已經複習的求導法常數、倍數、和、差、積、商


鍊式法則。我們直接考慮一個故事。下面不難,但不要讀得太快。讀完了你就會了。

假設有一隻菜,他要補充鹽分,但是由于沒有鹽粉或者鹽粒,隻能喝池子裡的鹹水

下面是幾個記号。

菜雞喝水的規律是w(t)。意思是到t時刻,一共喝了w升水(體積)。

又假設再假設喝進去的水的鹽度也有個規律s(w),意思是喝的水有鹹有淡,比方說有人在往池子裡撒鹽,導緻鹽度不均勻。總之意思是水不同,鹽度就不同

于是随着時間補充鹽的規律就是s(w(t)),這是一個複合函數。複合函數也是函數,自變量可以說成是時間。于是就可以談對時間的導數,别忘了這是增量比率的極限

微積分基本公式總結(菜雞速通微積分)3

你一定能理解,多喝一些水(水有個增量),就一定會多喝一些鹽(鹽的增量)

下面這個等式意思就是,多喝的鹽,應該是多喝的水,乘以這些水的鹽度

微積分基本公式總結(菜雞速通微積分)4

(這個推理不嚴謹。實際上,上面的等号應該是約等于,并且等号右邊第一項應該是ds/dw。這個說法需要深刻理解極限的概念,稍微難一些,放在最後)

兩邊除以delta t,取極限,就是鍊式法則

微積分基本公式總結(菜雞速通微積分)5

形式上,鍊式法則,就是因變量對中間變量求導*中間變量對自變量求導。有微分的概念之後,還可以真正的約分。微分就是ds,dt,dw這些東西,因此導數是微商,微分的商。

微分相當重要,以後再解釋。

現在返回去解決剛才那個不嚴謹的問題。沒興趣的可以忽略。懂極限和微分中值定理的一定看看。

别忘了導數是極限

微積分基本公式總結(菜雞速通微積分)6

如果你讓自變量取了一個特定的增量,就不是上面的極限本身,隻能寫

微積分基本公式總結(菜雞速通微積分)7

這就是

微積分基本公式總結(菜雞速通微積分)8

本文的主題到此結束。


多說幾句。鍊式法則非常重要,在多元微積分裡面,鍊式法則就是雅可比矩陣的乘積。在微分幾何裡,外微分的計算,需要所謂拉回映射,就是這個玩意。讨論這個必須先懂線性代數。此外,在應用的場合,比如概率論,多元分布的計算,沒有雅可比矩陣是不行的。

關于外微分,是理解整個微積分的鑰匙。在初等水平上講外微分的書,強烈推薦龔昇《簡明微積分》作為第二本微積分的書。

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