1922年，荷蘭版畫家莫裡茨·科内利斯·埃舍爾（Maurits Cornelis Escher）來到西班牙阿爾罕布拉宮，宮内精美繁複的裝飾圖案令他贊歎不已，他躍躍欲試想要模仿，但茫無頭緒，隻好無奈放棄。但這次邂逅在他的心中種下了一顆靈感的種子。十餘年後，他故地重遊，又一次看到阿爾罕布拉宮的精美裝飾，此後就仿佛打開了繪畫的任督二脈一般，創作了無數極富數學韻味的版畫作品而聲名大噪，成為科學家推崇的藝術家。

幾何圖案

埃舍爾究竟在這座由北非摩爾人建造的宮殿中找到了什麼靈感之泉，讓他茅塞頓開呢？答案是鋪滿阿爾罕布拉宮中各面牆壁的幾何圖案。彩色釉面磚鋪滿了宮殿的整面牆壁，形成漫無邊際、繁複迷離卻又秩序井然、美輪美奂的幾何圖形。這些幾何圖形變化循環，組成的圖案包羅萬象、形式多樣，令人啧啧稱奇。

而在埃舍爾看來，這些填滿平面的彩釉瓷磚，與其說是在描繪抽象的幾何形體，不如說是在意圖創造一些可辨認的形體。他在自己的著作《平面規則分割》中寫道：

摩爾人是平面鑲嵌的大師，他們能夠用不同的幾種圖案鑲嵌整個平面而不留任何空隙。尤其是在西班牙的阿爾罕布拉宮，他們把幾種彩釉瓷磚纖毫不差地拼在一起，裝飾牆壁。不過很遺憾······他們隻能把自己的想象力限制在一些抽象的幾何形狀裡。據我所知，沒有一個摩爾藝術家膽敢（甚至想都不敢想）用具體的、可識别的圖形，如鳥、魚、蜥蜴和人類的形象作為鑲嵌圖案的基本元素，但是對我來說，這種限制是難以接受的，因為在我自己的圖案中，正是基本元素的可識别性，才是我對這個領域愛不釋手的原因······平面規則分割是我挖掘出來的最豐富的靈感之泉，它至今也沒有枯竭。

埃舍爾所謂的“平面規則分割”就是數學中的“平面密鋪”概念，即用不同的幾何形狀完全覆蓋一個二維平面，而且圖形之間既沒有重疊，也沒有縫隙。簡而言之，就是貼磚。

阿爾罕布拉宮内的牆飾

人類離開洞穴後，自己建造房屋，開始用石頭來鋪砌地面和牆壁。當人們開始選取各種形狀和顔色的石頭來做漂亮的設計時，就可以把貼磚看作是一種藝術了。然而，時至今日，貼磚似乎隻是裝修工人們的無聊活計。在地面上、牆壁上，各樣的貼磚随處可見，它們即便不是千篇一律，也是平淡無奇。不過也正因為如此，阿爾罕布拉宮中的精美密鋪圖案才顯得尤為珍貴，也成為埃舍爾“最豐富的靈感之泉”。

大多數時候，創作靈感是直覺的産物，而理性卻總是姗姗來遲。即便是埃舍爾這樣的天才，也和常人無異。

很久以前，他在一次遊曆中偶然發現了這個領域（平面規則分割）。他仿佛看到了一堵高牆，預感到一些東西可能隐藏在高牆之後，他艱難地爬了過去。然而，在另一邊，他落在了一片荒野上，不得不勞神費力地開路，直到發現一條迂回路線，來到了一扇敞開的大門前，這是數學的大門······

埃舍爾找到數學之門的“迂回路線”始于他第二次遊曆阿爾罕布拉宮之後不久，當時埃舍爾經常到父母在海牙的家中做客。在這裡，他遇到了同父異母的兄弟、萊頓大學地質學教授比爾·埃舍爾。埃舍爾同他的兄弟聊起了自己在平面規則分割領域的工作，比爾表示晶體學家也在研究類似的問題，建議他閱讀相關科學文獻與成果。

阿爾罕布拉宮内的牆飾

于是，這位比爾就成了将埃舍爾的研究與理性的科學聯系起來的人，正是他為埃舍爾指出了“敞開的大門”。埃舍爾聽從比爾的建議，閱讀了大量數學家和晶體學家的成果，然後就找到了通往平面規則分割的數學大門，并打開了它。入門之後，他開始開辟新道路，走向那些被數學家和晶體學家忽視的領域。他在《平面規則分割》中寫道：

在數學領域，平面規則分割已經在理論上得到了充分的研究······數學家打開了一扇通向無限可能性的大門，但是他們自身并沒有進入其中。他們的特殊禀賦使他們對打開這扇門的方式更感興趣，而對隐藏在其後的花園不感興趣。

在埃舍爾看來，在這個花園裡耕耘播種自然是藝術家的工作。他開發了一套“外行人的理論”，作為自己進行平面規則分割創作的方法論。

接下來，我們就以阿爾罕布拉宮中的一些牆面裝飾圖案為例，跟随埃舍爾的腳步，用他那套“外行人的理論”，走進平面規則分割的花園。

如下圖，以正方形作為密鋪單元，對其進行改造。左側割掉一個梯形，繞A順時針旋轉90°補到下方；右側也割掉一個梯形，繞C順時針旋轉90°補到上方，從而得到一個啞鈴形圖案。顯然，這個啞鈴形圖案可以密鋪平面。

張羿 啞鈴形密鋪圖案

下圖仍然以正方形作為密鋪單元。左側割掉一個三角形補到上側；下側也割掉一個三角形補到右側，得到了帽子形密鋪圖案。

張羿 帽子形密鋪圖案

将帽子形密鋪圖案稍作修改，将割補三角形的一條邊變成弧線，得到了飛機形密鋪圖案。

張羿 飛機形密鋪圖案

在飛機形密鋪圖案的基礎上再作修改，将割補三角形的兩條邊都變成弧線，得到了楓葉形密鋪圖案。

張羿 楓葉形密鋪圖案

下圖将割補三角形的尺寸變小，得到了魚形密鋪圖案。

張羿 魚形密鋪圖案

下圖以正三角形作為密鋪單元進行改造。在正三角形底邊一側割下一個弓形，圍繞底邊中點旋轉180°補到另一側，另外兩條邊同理，得到了回旋镖形圖案。

張羿 回旋镖形密鋪圖案

由此可見，埃舍爾的方法是通過“改造”基礎的密鋪單元衍生出較為複雜的圖案。“改造”就是利用基礎多邊形的對稱特性，進行平移、旋轉、反射、滑移反射等等容變換操作。所謂等容變換，顧名思義，就是指把一個多邊形變來變去的最高原則是必須保持多邊形的面積不變。如果一側變形，那麼另一側就必須進行相應的變形來補償。可以用一句詩來形容：下面凹來上面凸，左邊割掉右邊補。

正是此法，讓埃舍爾把大千世界中多姿多彩的花鳥魚蟲、飛禽走獸密鋪到平面之中，令人拍案叫絕。

本文節選自《美少年》2022年第6期

《藝術工匠的幾何創想》