我們在做數學的幾何方面的題目時候，大多數情況下是要用到輔助線的，今天就給大家講一下怎麼構造全等三角形，以及等腰三角形的幾種情況通常做輔助線的方法。

當證題有困難時，可結合已知條件，把圖形中的某兩點連接起來構造全等三角形.

例：已知，如圖，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，

求證：∠A = ∠D

證明比較簡單，連結BC就可以證明。

當證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，為證題提供條件.

例：已知，如圖，AB = DC，∠A = ∠D

求證：∠ABC = ∠DCB

證明隻需要分别取AD、BC中點N、M，連結NB、NM、NC，這樣做完輔助線以後，很快就得證，不在證明。

有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題.

例：已知，如圖，∠1 =∠2，P為BN上一點，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD，求證：∠BAP＋∠BCP = 180度

證明：過P作PE⊥BA于E

∵PD⊥BC，∠1 = ∠2

∴PE = PD

在Rt△BPE和Rt△BPD中

BP = BP，PE = PD

∴Rt△BPE≌Rt△BPD

∴BE = BD

∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE

∴AE = CD

∵PE⊥BE，PD⊥BC

∠PEB =∠PDC = 90度

在△PEA和△PDC中

PE = PD

∠PEB =∠PDC

AE =CD

∴△PEA≌△PDC

∴∠PCB = ∠EAP

∵∠BAP＋∠EAP = 180度

∴∠BAP＋∠BCP = 180度

有等腰三角形時常用的輔助線

• 作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線

例：已知，如圖，AB = AC，BD⊥AC于D，求證：∠BAC = 2∠DBC

證明：作∠BAC的平分線AE，交BC于E，則∠1 = ∠2 =

∠BAC

又∵AB = AC

∴AE⊥BC

∴∠2＋∠ACB = 90o

∵BD⊥AC

∴∠DBC＋∠ACB = 90o

∴∠2 = ∠DBC

∴∠BAC = 2∠DBC

這道題，還有兩種方法，這裡不再講解，留給大家，歡迎大家在評論裡說出你們的方法。

• 有底邊中點時，常作底邊中線

例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，D為BC中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

求證：DE = DF

證明：連結AD.

∵D為BC中點，

∴BD = CD

又∵AB =AC

∴AD平分∠BAC

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE = DF

• 将腰延長一倍，構造直角三角形解題

例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，在BA延長線和AC上各取一點E、F，使AE = AF，求證：EF⊥BC

證明：延長BE到N，使AN = AB,連結CN,則AB = AN = AC

∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC

∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180度

∴2∠BCA＋2∠ACN = 180度

∴∠BCA＋∠ACN = 90度

即∠BCN = 90度

∴NC⊥BC

∵AE = AF

∴∠AEF = ∠AFE

又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE，∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC

∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC

∴∠AEF = ∠ANC

∴EF∥NC

∴EF⊥BC

• 常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線

例：已知，如圖，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延長線上，且BD = CE，連結DE交BC于F

求證：DF = EF

證明：過D作DN∥AE，交BC于N，則∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，

∵AB = AC

∴∠B = ∠ACB

∴∠B =∠DNB

∴BD = DN

又∵BD = CE

∴DN = EC

在△DNF和△ECF中

∠1 = ∠2，∠NDF =∠E，DN = EC

∴△DNF≌△ECF

∴DF = EF

這道題，還有第二種作法，就是過E作EM∥AB交BC延長線于M,則∠EMB =∠B，證明過程留給大家。

• 常過一腰上的某一已知點做底的平行線

例：已知，如圖，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延長線上，且AD =AE，連結DE

求證：DE⊥BC

證明：過點E作EF∥BC交AB于F，則∠AFE =∠B，∠AEF =∠C

∵AB = AC

∴∠B =∠C

∴∠AFE =∠AEF

∵AD = AE

∴∠AED =∠ADE

又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180度

∴2∠AEF＋2∠AED = 90度

即∠FED = 90度

∴DE⊥FE

又∵EF∥BC

∴DE⊥BC

（證法二）過點D作DN∥BC交CA的延長線于N，（證法三）過點A作AM∥BC交DE于M，另外兩種方法的提示就這麼多，過程留給大家。

• 常将等腰三角形轉化成特殊的等腰三角形——等邊三角形

例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P為形内一點，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB的度數.

解：以AB為一邊作等邊三角形，連結CE，則∠BAE =∠ABE = 60度，AE = AB = BE

∵AB = AC

∴AE = AC ，∠ABC =∠ACB

∴∠AEC =∠ACE

∵∠EAC =∠BAC－∠BAE= 80°－60° = 20°

∴∠ACE =(180°－∠EAC)= 80°

∵∠ACB=(180°－∠BAC)= 50°

∴∠BCE =∠ACE－∠ACB= 80°－50° = 30°

∵∠PCB = 30°

∴∠PCB = ∠BCE

∵∠ABC =∠ACB = 50°, ∠ABE = 60°

∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60°－50° =10°

∵∠PBC = 10°

∴∠PBC = ∠EBC

在△PBC和△EBC中

∠PBC = ∠EBC，BC = BC，∠PCB = ∠BCE

∴△PBC≌△EBC

∴BP = BE

∵AB = BE

∴AB = BP

∴∠BAP =∠BPA

∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10°= 40°

∴∠PAB =(180°－∠ABP)= 70°

同樣這道題還有其他的解法，留作練習題，大家可以在評論裡留言做法。歡迎大家踴躍留言！

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