拉格朗日插值法的想法非常簡單，比如
圖1
圖1中的每個點我們都知道它們的橫坐标和縱坐标（x0,y0）,（x1,y1）,（x2,y2）,等等。現在的問題是，如何用一條曲線全部把它們連接在一起呢？
圖2
圖2表示把這些點連起來的效果。但P(x)的表達式是要我們求出來的，為此，考慮用多項式對P(x)進行近似：
那麼，當隻需要把兩個點連起來的時候，很容易得出這條直線方程：
圖3
其中L0(x)把x0代入的時候分子分母相同，也就是等于1，L1(x)把x1代入時分子分母相同。
當需要把三個點連起來的時候，那就要把（x0,y0）,（x1,y1）,（x2,y2）這三個點的坐标代入如下方程組：
圖4
得到：
圖5
對比圖3和圖5中L(x)的結構，會發現它們之間可能存在某種規律，如果繼續把4個點，5個點的坐标代入圖3的方程組，可以得出L(x)的表達式為：
圖6
這個表達式的特點是：分子裡面沒有xi，而分母裡面每一個乘積項都有xi。
進一步分析，P(x)可以寫成如下形式：
圖7
圖7的特點是，當x=xi 的時候，P(x)=yi，也就是保證每一個離散的點都在曲線P(x)上面，而要保證這一點，隻要當x=xi 的時候，Li(x)=1,其它的L(x)等于0就行了，即：
圖6的多項式正好符合這個要求。
特别要注意的是，當xj=x0和xj=x1的情況，這個時候分子分母都隻有一個乘積項，也就是圖3的情形。
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