導數的幾何意義可能很多人都比較熟悉: 當函數定義域和取值都在實數域中的時候，導數可以表示函數曲線上的切線斜率。 除了切線的斜率，導數還表示函數在該點的變化率。

将上面的公式轉化為下面圖像為：

直白的來說，導數代表了在自變量變化趨于無窮小的時候，函數值的變化與自變量變化的比值代表了導數，幾何意義有該點的切線。物理意義有該時刻的（瞬時）變化率...

注意在一元函數中，隻有一個自變量變動，也就是說隻存在一個方向的變化率，這也就是為什麼一元函數沒有偏導數的原因。

既然談到偏導數，那就至少涉及到兩個自變量，以兩個自變量為例，z=f(x,y) . 從導數到偏導數，也就是從曲線來到了曲面. 曲線上的一點，其切線隻有一條。但是曲面的一點，切線有無數條。

而我們所說的偏導數就是指的是多元函數沿坐标軸的變化率.

fx'(x,y)指的是函數在y方向不變，函數值沿着x軸方向的變化率。

fy'(x,y)指的是函數在x方向不變，函數值沿着y軸方向的變化率。

對應的圖像形象表達如下：

那麼偏導數對應的幾何意義是是什麼呢？

• fx'(x,y)偏導數就是曲面被平面所截得的曲面在點處的切線對x軸的斜率。
• fy'(x,y)偏導數就是曲面被平面所截得的曲面在點處的切線對y軸的斜率。

可能到這裡，讀者就已經發現偏導數的局限性了，原來我們學到的偏導數指的是多元函數沿坐标軸的變化率，但是我們往往很多時候要考慮多元函數沿任意方向的變化率，那麼就引出了方向導數。

終于引出我們的重頭戲了，方向導數，下面我們慢慢來走進它

假設你站在山坡上，相知道山坡的坡度（傾斜度）

山坡圖如下：

假設山坡表示為z＝f(x,y),你應該已經會做主要倆個方向的斜率.

y方向的斜率可以對y偏微分得到.

同樣的，x方向的斜率也可以對x偏微分得到

那麼我們可以使用這倆個偏微分來求出任何方向的斜率（類似于一個平面的所有向量可以用倆個基向量來表示一樣）。

現在我們有這個需求，想求出u方向的斜率怎麼辦.假設z＝f(x,y)為一個曲面，p(xo,yo)為定義域f中一個點，單位向量u＝cosθi sinθj的斜率，其中θ是此向量與x軸正向夾角.單位向量u可以表示對任何方向導數的方向.如下圖：

那麼我們來考慮如何求出u方向的斜率，可以類比于前面導數定義，得出如下：

設f(x,y)為一個二元函數，u＝cosθi sinθj為一個單位向量，如果下列的極限值存在

此方向導數記為Duf

則稱這個極限值f是沿着u方向的方向導數，那麼随着θ的不同，我們可以求出任意方向的方向導數.這也表明了方向導數的用處，是為了給我們考慮函數對任意方向的變化率.

在求方向導數的時候，除了用上面的定義法求之外，我們還可以用偏微分來簡化我們的計算.

表達式是：

（至于為什麼成立，很多資料有，不是這裡讨論的重點）

那麼一個平面上無數個方向，函數沿哪個方向變化率最大呢？

目前我不管梯度的事，我先把表達式寫出來：

設

那麼我們可以得到：

(α為向量與向量之間的夾角)

那麼此時如果Duf(x,y)要取得最大值，也就是當α為0度的時候，也就是向量I（這個方向是一直在變，在尋找一個函數變化最快的方向）與向量A（這個方向當點固定下來的時候，它就是固定的）平行的時候，方向導數最大.方向導數最大，也就是單位步伐，函數值朝這個反向變化最快.

好了，現在我們已經找到函數值下降最快的方向了，這個方向就是和向量相同的方向.那麼此時我把A向量命名為梯度（當一個點确定後，梯度方向是确定的），也就是說明了為什麼梯度方向是函數變化率最大的方向了！！！（因為本來就是把這個函數變化最大的方向命名為梯度）

我的理解是，本來梯度就不是橫空出世的，當我們有了這個需求（要求一個方向，此方向函數值變化最大），得到了一個方向，然後這個方向有了意義，我們給了它一個名稱，叫做梯度。