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高中直線的傾斜角與斜率知識點
高中直線的傾斜角與斜率知識點
更新时间:2025-04-03 07:20:32

高中直線的傾斜角與斜率知識點(高考數學必拿分數講解)1

一次函數是很多最早學習的函數知識内容之一,它的圖像是一條直線,而學好一次函數,那麼首先要掌握好一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程組等相關知識内容。從某種意義上來說,直線方程的概念本質上是刻畫直線與方程的一一對應的關系。

進入高中之後,數學教材繼續安排直線相關知識内容學習,無論是知識的深度廣度都在增加,一方面讓學生感受學無止境的學習精神,進一步強化函數思想,學會運用數形結合等數學思想解決問題;另一方面這也是解析幾何可以用方程(代數)研究直線(幾何)的基礎。

高中數學裡面我們更多講究直線方程的概念,這個比起一次函數去解釋,顯得更加抽象,對學生的思維能力進一步提出挑戰,但也加強學生對思考問題的角度和方法的培養,這些都是數學綜合素質的體現。

什麼是直線的傾斜角?

1、定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角.當直線與x軸平行或重合時,規定它的傾斜角為0°.

2、傾斜角的範圍為[0,π).

什麼是直線的斜率?

1、定義:一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,即k=tan_α,傾斜角是90°的直線沒有斜率.

2、過兩點的直線的斜率公式:

經過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k=(y2-y1)/(x2-x1)=(y1-y2)(x1-x2).

花點時間去記住這些概念都不難,但深刻去理解,如在求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在,每條直線都有傾斜角,但不一定每條直線都存在斜率。

由斜率求傾斜角,一是要注意傾斜角的範圍;二是要考慮正切函數的單調性。用截距式寫方程時,應先判斷截距是否為0,若不确定,則需要分類讨論。

高中直線的傾斜角與斜率知識點(高考數學必拿分數講解)2

典型例題分析1:

已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)證明:直線l過定點;

(2)若直線l不經過第四象限,求k的取值範圍;

(3)若直線l交x軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點B,O為坐标原點,設△AOB的面積為S,求S的最小值及此時直線l的方程.

解:(1)證明:法一:直線l的方程可化為y=k(x+2)+1,

故無論k取何值,直線l總過定點(-2,1).

法二:設直線過定點(x0,y0),則kx0-y0+1+2k=0對任意k∈R恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0恒成立,

∴x0+2=0,-y0+1=0,

解得x0=-2,y0=1,故直線l總過定點(-2,1).

(2)直線l的方程為y=kx+2k+1,則直線l在y軸上的截距為2k+1,

要使直線l不經過第四象限,

高中直線的傾斜角與斜率知識點(高考數學必拿分數講解)3

解決直線方程的綜合問題時,除靈活選擇方程的形式外,還要注意題目中的隐含條件,若與最值或範圍相關的問題可考慮構建目标函數進行轉化求最值。

同時對直線方程的形式及适用條件要分的非常清楚:

1、點斜式

幾何條件是過點(x0,y0),斜率為k ;方程為y-y0=k(x-x0) ;局限性是不含垂直于x軸的直線。

2、斜截式

幾何條件是斜率為k,縱截距為b ;方程為y=kx+b;局限性是不含垂直于x軸的直線。

3、兩點式

幾何條件是過兩點(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2,y1≠y2);方程為(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)(x2-x1);局限性是不包括垂直于坐标軸的直線。

4、截距式

幾何條件是在x軸、y軸上的截距分别為a,b(a,b≠0);方程為x/a y/b =1 不包括垂直于坐标軸和過原點的直線。

5、一般式

方程為Ax+By+C=0(A,B不全為0) 。

典型例題分析3:

過點P(3,0)作一直線,使它夾在兩直線l1:2x-y-2=0與l2:x+y+3=0之間的線段AB恰被點P平分,求此直線的方程。

高中直線的傾斜角與斜率知識點(高考數學必拿分數講解)4

高中直線的傾斜角與斜率知識點(高考數學必拿分數講解)5

在求解與直線有關的相關問題過程中,一些學生常常會因考慮不周全而丢失分數,如對直線斜率與傾斜角之間的關系理解不夠透徹妄下結論導緻錯誤;求直線的傾斜角或斜率時不能準确地表達結果;如設直線方程為點斜式或斜截式而漏掉斜率不存在的情況。

求直線方程的方法主要有以下兩種:

1、直接法:根據已知條件,選擇适當的直線方程形式,直接寫出直線方程;

2、待定系數法:先設出直線方程,再根據已知條件求出待定系數,最後代入求出直線方程。

從幾道例題,我們可以看出,要想正确解決直線相關的問題,那麼就要正确求出傾斜角,如求傾斜角的取值範圍的一般步驟:

1、求出斜率k=tan α的取值範圍;

2、利用三角函數的單調性,借助圖象或單位圓數形結合,确定傾斜角α的取值範圍;

3、求傾斜角時要注意斜率是否存在。

通過對直線方程的概念、傾斜角概念、斜率定義及斜率公式四大主要知識的學習,我們不僅要紮實掌握好基本知識内容,更要通過知識的學習,讓自身的思維能力得到鍛煉。

典型例題分析4:

如圖,射線OA、OB分别與x軸正半軸成45°和30°角,過點P(1,0)作直線AB分别交OA、OB于A、B兩點,當AB的中點C恰好落在直線y=1/2x上時,求直線AB的方程.

高中直線的傾斜角與斜率知識點(高考數學必拿分數講解)6

高中直線的傾斜角與斜率知識點(高考數學必拿分數講解)7

解決直線相關問題,我們很多時候要借助坐标系,這就相當于要熟練運用數形結合思想去解決問題,對函數的圖象和性質要熟記于心。

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