歐拉公式初中數學?本文為“2022年第四屆數學文化征文活動，我來為大家科普一下關于歐拉公式初中數學?以下内容希望對你有幫助!

歐拉公式初中數學

本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

歐拉公式的幾何證明與意義

作者 : 陳彥宇

作品編号：093

許多教科書中喜歡用泰勒展開來證明歐拉公式。

餘弦的泰勒展開：

正弦的泰勒展開：

相加，逆用指數函數的泰勒展開：

Part I 指數函數與e

要理解歐拉公式，首先要理解e，即自然對數的底。 e = 2.71828…

e在數學中十分常見，從光的衰減到用于近似階乘的stirling公式，從自然對數到正态分布，都有它的身影。毫不客氣地說，他是知名度僅次于的數學常數。e最早是在研究複利時被提出的。

假設李華有一單位的本金，存進了銀行，年利率為r。那一年之後，他就有了（1 r）單位的錢，但是銀行一年結算幾次呢？如果銀行一年結算2次，則每半年的收益率相應的減為r/2，那一年後李華的總收益就有 。因為r/2也被計入了本金額外産生的利息使李華的總收益增加了。當一年分期越多，總收益就越多。但當期數n趨于無窮時，總收益并不會趨于無窮，。而是趨于一個确定的極限，也就是e。這裡的關鍵在于，雖然n趨于無窮，但每期的收益1/n也在減少。最後兩者互相抵消，剛好收斂在一個确定的值。這就是大名鼎鼎的自然對數的底。以時間為自變量對李華的銀行存款作圖，就得到了我們熟悉的指數函數exp。但如果此時，那麼可以發現極限收益率為。

當原本要變化r時，把變化細分成無窮份，每次變化1/n，那最後得到的就是。如果e上放的是虛數，比如iπ，那麼發生的是什麼？這對應了極限r替換成iπ時的情景，但還是太複雜了，不易處理。

Part II 複數乘法

這是一根數軸

将-1開根号，我們就得到了虛數單位i。

所有實數與虛數組合在一起，就得到了全體複數，也可以說是複平面。複數的加法很簡單，隻要把數的實部和虛部相加就可以了。

反映在複平面上，就是兩個複數對應的向量相加。

例：(a bi) (c di)

= a c bi di

= (a c) (b d)i

但複數乘法卻非常複雜，我們要用乘法分配律展開四項，化簡處理後，才能得到一個仍然複雜的式子。

複數乘法難道就隻有如此粗鄙的理解方式嗎？答案是否定的。

例：

=

=

當複數被放在平面上時，我們不僅能用複數的坐标，還能用複數的模長與幅角來表示複數的值。

這兩種描述方式是等價的，這就好像把複平面看作極坐标一樣。下面，我們來看幾個具體的例子。比如，對于複數,它與實軸的夾角為，模長可以根據勾股定理推算出為2。

那如果讓它的幅角是呢？利用三角函數，我們很快就求出來對應的複數是。

我們關心的是，兩個複數相乘，會發生什麼？面對這樣一個複雜的數學問題，一個好的習慣就是從例子入手。我們不妨先考慮的情況。

打開四項，用i = -1化簡，再将實部與虛部合并同類項，最終得到了。這個結果的幅角是，恰好是兩個複數的幅角相加！而它的模長是4，恰好是兩個複數模長的乘積！

到了這裡，我們好像發現了一個規律：兩複數相乘，結果的幅角為因數幅角相加，模長為因數模長乘積。不過，這是我們觀察歸納出的結論，并不嚴謹，事實上，可以通過三角函數的和差角公式，來嚴格證明一般情況下這一結論。

這意味着什麼？這意味着我們對複數乘法有了一種全新的，強有力的理解方式，複數乘法不再是一坨坨晦澀的代數推導，而是被賦予了鮮明的幾何意義。

有了複數乘法的幾何意義後，我們終于可以直面歐拉公式了。

當我們乘以時小三角形變矮了，因為虛部變少了。當我們再乘以，根據複數乘法的幾何意義，我們隻要轉過相同的角度，放大相同的倍率。從1怎麼到，從怎麼到它的平方。注意到了嗎，掃過的區域任然是一個直角三角形，因為兩個三角形是相似的，我們乘以了同一個複數。那n=3呢？以此類推。通過觀察所知，随着n不斷增大，這些三角形會不斷彎曲收攏，最後當n趨于無窮時形成一個半圓。這也就對應了連乘積會越來越趨于複平面左邊，可這是為什麼呢？讓我們來看每個三角形，當n很小時，他們都是直角三角形，斜邊與直角邊相比每一步都增加了很大的比例。當n很大的時候，斜邊與直角邊幾乎相等，乘上一個幾乎不改變原來的模長。當n趨于無窮時，每個三角形近似成了一個很扁很扁的扇形，模長便不再增長了。而整個一連串的三角形變成了一個真正的弧形。

有人可能會覺得這樣證明不嚴謹，每個三角形的增量是無窮小，可以看作扇形，但無窮個三角形就不一定了。1加無窮小為1，但1 無窮小的無窮次方就不一定了。嚴格來說，這是一個1的無窮次方的未定式。但實際上可以證明，每個三角形帶來的模長增量是1/n的高階無窮小，因此連乘n次的極限結果還是1。受篇幅限制，我就不展開了，有興趣的可以參考高數課本。

言歸正傳，我們的任務是：确定這個扇形的終點在哪裡？确定了終點在複平面上的位置，我們也就确定了原來連乘積的極限，進而也就确定了e^iπ的結果。看上去-1是一個非常顯然的結果，但我們希望能得出一個更加具體的解釋。實際上這并不難，回到n = 1的情況。

大三角型的豎直直角部，長度是；當n趨于無窮時，每個小三角形意味着乘以，它的直角邊邊長就是/n。所有小三角型的短直角邊共同構築了大圓弧的弧長，因此整條圓弧的弧長就是。根據弧長公式，我們立馬得到結論：圓心角是，這确實是個完整的半圓。由于半徑是1，圓弧的中點就是複平面上的-1，從而我們也證明了歐拉公式，。

數學中有一句話：當一個公式出現時，你一定要去問自己，那個圓在哪裡？

當我們談論歐拉公式時，千萬不要認為歐拉公式是變了什麼戲法，在實軸上把e變成了-1；恰恰相反，歐拉公式的奧妙在複平面上，它借助極限與單位圓的力量，在實軸上方進行升維打擊，繞了一大圈後才來到了-1，如果隻有實軸，是不可能完成這一任務的。換句話說，歐拉公式的那個圓，在複平面上。

現在，我們已經對歐拉公式有了形象而紮實的理解。如果公式中出現在複指數上的不是，而是任意角，那會怎麼樣= ？

當複指數上帶入另一個複數，我們仍然可以通過極限來理解。

=?

進一步，我們可以回到熟悉的複平面上通過幾何的直覺來理解它。回到剛剛的三角形和弧形，此時，小三角形的短直角邊長都變成了θ/n，而不是π/n。最後的弧長也相應變成了θ，而不是π。

逆用弧長公式，此時的圓心角就是θ。

終點落在的位置，即。

例如，當θ = π/2，圓弧的圓心角便是一個直角，終點恰好落在虛軸上，即虛數單位i

當θ =π時，我們就回到了之前的情況，這樣我們就得到了更一般的歐拉公式：

你以為故事到這就結束了嗎？不，才剛剛開始。歐拉公式與圓有着千絲萬縷的關系，許多科學領域用它來表示旋轉。在θ中插入ωt，我們就有了一個随時間t增長的圓心角，這，就是旋轉，一種可以被數學語言描述的旋轉。在力學與電學中，科學家用它來表示振蕩；在光學中，物理學家用它來表示電磁波的相位；甚至在傅裡葉變換和量子力學中也因此有了歐拉公式的身影。可以說，歐拉公式已經成為理工科不可替代的一塊基石，在機械、光學、電力、原子物理等領域有着重要的作應用，并進而影響着我們生活的方方面面。

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