千呼萬喚始出來，失蹤人口重新回歸啦，emmmm，我的上一期文章還是四個月前發布的，具體沒更新的原因後續我會以個人的小故事發出來的，最近也許會高産一些。

之前跟大家講過極限是數分最最基本的概念，有了它才會有後面那麼多的可微、可導、連續等概念。注：本文隻讨論一元微積分（多元微積分相比一元的要複雜得多，不僅要考慮每個分量，還要考慮到每個分量之間的聯系）

其實大家在高中就已經學過導數的概念，當時是由變化率這個概念提純出來的概念，在函數圖像上也有着特殊的幾何含義——斜率，所以可以通過函數圖像來判斷一個函數的導數是否存在，即是否可導或者可微。如下圖所示：

高中函數 f(x) 導數的定義：

可以這樣理解，函數自變量 x 發生了一個小小的波動 Δx ，那麼函數值的變化 f(x Δx)−f(x) 是否相比與自變量的波動 Δx 成線性呢？即 （常數） 是否成立，這裡由于變化微小，所以考慮極限定義，如果這個極限存在那麼就将它定義為函數 f(x) 在該點的斜率，在幾何上，也是切線與 x 軸非負半軸方向夾角的正切值（如上圖所示）。

到了大學，定義幾乎沒變，隻是對于條件或許更嚴格、更專業化而已。如下：

至此，大家也許會有疑問，本文題目一開始就提出了兩個概念，可導vs可微，可微又是什麼呢？

可微可以說是從是另一個方面說明函數變化率的概念，分析步驟差不多，如下：

函數自變量 x 發生了一個小小的波動 Δx ，那麼函數值的變化 Δy=f(x Δx)−f(x) 是否相比與自變量的波動 Δx 成線性呢？即 Δy=kΔx（k為常數） 是否成立，跟上面差不多，換成了乘積形式，但是對于數學這卻是兩種完全不同的形式，這裡由于變化微小，所以同樣地考慮極限的定義，而且那些微小的不影響函數主要線性部分的因素不應該被忽略，所以會寫成

那麼可微的準确定義來了

是這樣的，可微呢，可積這一套我們都是學習西方的，是英文翻譯過來的。學到後面，你會發現，其實數學上的東西，線性的一般是最簡單的，一般都很好研究，但是自然界或者實際中，很多東西往往都是非線性的，所以我們需要對它在極其微小處進行微元線性處理（物理上很多東西都是這樣搞出來的），這也就是我們為啥定義微分要取主要線性部分，你再想想現實中，地球是球體，但是你生活的那一小點就是平面啊，也就類似進行了線性化處理。

所以基本從推導形式上就可以看出，對于一元函數這兩個定義等價。接下來我們嚴格推理一下

必要性： 可導⇒可微

充分性: 可微⇒可導

好的，綜上所述，我們基本完成了對于一元函數可微與可導的總結概述。

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