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五年級

【問題1】小強用一根10米長的繩子繞一棵樹幹3圈後，還剩下0.58米。這棵樹幹橫截面的面積是多少平方米？

【分析與解】要想求這棵樹幹的橫截面的面積，先要求出樹幹橫截面的半徑。根據“小強用一根10米長的繩子繞一棵樹幹3圈後，還剩下0.58米”，可以求出樹幹橫截面的半徑是（10－0.58）÷3÷2÷3.14=0.5（米），這棵樹幹橫截面的面積是3.14×0.52=0.785（平方米）。

【問題2】一個挂鐘，鐘面上的時針長5厘米。這根時針的尖端一晝夜所劃過的路線，一共有多少厘米？

【分析與解】挂鐘上的時針每小時走一大格，這根時針的尖端一晝夜所劃過的路線就是它經過24小時所走的厘米數，即時針的尖端走兩圈的厘米數。這根時針的尖端經過1圈走2×π×5=10π（厘米），一晝夜所劃過的路線一共有10π×2=20π（厘米）。

【問題3】一根蠟燭第一次燒掉全長的1/5，第二次燒掉剩下的一半。這根蠟燭還剩下全長的幾分之幾？

【分析與解】這根蠟燭第一次燒掉全長的1/5後，還乘下這根蠟燭的1－1/5=4/5。第二次燒掉剩下的一半，即燒掉這根蠟燭的4/5×1/2=2/5。因此，這根蠟燭還剩下全長的1－1/5－2/5=2/5。

【問題4】有12支鉛筆，平均分給2個同學。每支鉛筆是鉛筆總數的每人分得的鉛筆是總數的。

【分析與解】求每支鉛筆是鉛筆總數的幾分之幾，要把12支鉛筆看作單位“1”，這裡是把單位“1”平均分成12份，其中1份占12份的1/12，即每支鉛筆是鉛筆總數的1/12。求每人分得的鉛筆是總數的幾分之幾，仍把12支鉛筆看作單位“1”，這裡把單位“1”平均分成2份，其中1份占2份的1/2，即每人分得的鉛筆是總數的1/2。

【問題5】一瓶油重7/2千克，第一個星期吃了3/2千克，第二個星期吃了6/5千克。這瓶油比原來少了多少千克？

【分析與解】這裡要求的是這瓶油比原來少了多少千克，就是求兩個星期一共吃了多少千克油。即3/2 6/5=27/10。

【問題6】圖中正方形的面積是8平方厘米，你能算出黃色部分的面積嗎？

【分析與解】右圖中黃色部分是一個扇形，其面積占整個圓形面積的，因此，隻要求出圓形的面積就容易求出黃色部分的面積。可題目中并沒有給出圓形的半徑，怎樣才能求出圓形的面積呢？仔細觀察，正方形的邊長就是圓的半徑，正方形的面積等于圓的半徑的平方，即r²=8，因此，圓的面積是π×8=8π（平方厘米），黃色部分的面積為8π×=6π（平方厘米）。

【問題7】小明、小華和小芳各做一架航模飛機，小明用了3/4小時，小華用了5/6小時，小芳用了0.8小時。（ ）做得更快。

【分析與解】這裡要正确理解“做得更快”的含義，用的時間越少，做得越快。3/4=0.75，5/6=0.8333，容易得到3/4＜0.8＜5/6。因此，小明做得更快。

【問題8】一個直徑為6米的圓形花壇，在它的周圍鋪設一條2米寬的小路。求這條小路的面積。

【分析與解】如圖，要求小路的面積，就是求圖中圓環的面積，内圓的半徑是6÷2=3（米），外圓的半徑是3 2=5（米），因此，這條小路的面積是π×5²－π×3²=16π（平方米）。

【問題9】判斷：半徑2厘米的圓，周長與面積相等。（ ）

【分析與解】雖然半徑是2厘米的圓的周長和面積的數值都是4π，但周長和面積的意義不同，單位名稱也不同，不能進行比較，因此，本題錯誤。

【問題10】一塊草坪被4條1米寬的小路平均分成了9小塊。草坪的面積是多少平方米？

【分析與解】本題中的草坪被4條小路分成了9塊，看似比較困難，這裡我們可通過平移将這9塊草坪，将它們轉化成一塊長為45－1×2=43（米）、寬為27－1×2=25（米）的長方形，草坪的面積為43×25=1075（平方米）。

六年級

【易錯題1】計算下面各題：6500÷25×4；106－43 57；84×10÷84×10

【問診】學生中常見的錯誤分别為：6500÷25×4＝6500÷100＝65；106－43 57＝106－100=6； 84×10÷84×10＝（84×10）÷（84×10）＝1。顯然受簡便計算思維定勢的影響，他們把“6500÷25×4”與“6500÷（25×4）”，“106－43 57”與106-（43 57）”，“84×10÷84×10”與“（84×10）÷（84×10）”混淆。引導孩子對簡便計算進行審題，明确其運算的意義尤其重要。

【練習】6÷3/5-3/5÷6 ；4×3÷4×3；125×125×64

【易錯題2】一根5米長的繩子如果用去4/5米，還剩多少米？如果用去4/5，還剩多少米？

【問診】學生對于2個4/5的意義理解不清楚，誤以為“用去4/5米”和“用去4/5”是一回事。第一個“用去4/5米”，是用去了一個具體的長度，而第二個指的是分率，用去的占全長的4/5，剩下全長的1/5。因此，理解題目中分數的意義是解決此類問題的基礎。

【練習】把4/5米長的繩子平均分成4份，每份占全長的幾分之幾？每份長多少米？

【易錯題3】把一張半徑為3厘米的圓形紙片平均剪成兩個半圓，每個半圓的周長是多少？

【問診】半圓的周長≠圓周長的一半。不少學生誤以為圓周長的一半就是每個半圓形紙片的周長，直接用2×3.14×3÷2=9.42（厘米）。半圓周長與圓周長的一半，兩個看似相同，實則不同，半圓的周長=圓周長的一半 直徑的長，半圓周長比圓周長的一半多出了一條直徑。因此本題還要用9.42 3×2=15.42（厘米）。解決類似的問題要學會畫圖分析，并注意概念間的不同。

【練習】下圖的周長是（ ）米。

A．25.7 B．31.4 C．15.7 D．39.25

【易錯題4】給3、5、9再配上一個數，組成比例。這個數是（ ）。

【問診】這道題目的答案并不唯一，不少學生在完成此題時，常常考慮問題不全面，隻考慮了其中的一種情況，忽略了其他的情況。本題可以分三種情況讨論：如果補充的數是最大數，則為5×9÷3=15；如果補充的數是最小數，則為3×5÷9=5/3；如果補充的數是中間的數，則為3×9÷5=27/5。因此，對于一個數學問題，考慮是否全面，影響着解題的正确率。

【練習】一個等腰三角形的兩條邊是8cm與15cm。這個三角形的周長是（ ）。

【易錯題5】下面哪些是質數，哪些是合數？1，16，19，57，51，23，91，97，87，79，29

【問診】完成本題時，有些學生判斷質數和合數時受到奇數和偶數的影響，誤認為奇數51和91是質數。其實51是3的倍數，91是7的倍數，所以它們都是合數。有些學生認為19、79、29是合數，他們看到這幾個數的個位是9，9是合數，所以這些數也是合數，其實這些數都是質數。有些學生對判斷97是否是質數時，不知如何思考，憑空猜測。其實我們隻要用97分别去除以2、3、5、7等質數，發現都不是它們的倍數，所以97是質數。

【練習】請找出100以内的所有質數。

【易錯題6】如圖，請你把梯形繞A點順時針旋轉900，并畫出來。

【問診】圖形旋轉有三個關鍵要素：一是旋轉的中心，即繞哪一個點旋轉；二是旋轉的方向，三是旋轉的角度。本題有3種典型錯例：

圖1旋轉的中心點、方向和角度都沒有問題，但旋轉時把梯形的上底和下底搞混淆，導緻梯形“斜腰”的方向明顯出現了錯誤。圖2乍一看挺有道理，仔細觀察會發現梯形沒有繞着A點進行旋轉，旋轉的中心點發生了錯誤。圖3“疊加”了圖1和圖2的錯誤，旋轉中心點以及梯形的上底和下底在旋轉時都出現了偏差。

【練習】把下圖繞O點順時針旋轉90°，并畫出來。

【易錯題7】做一節底面直徑為2分米、長3米的煙囪，至少需要多少平方分米鐵皮？（得數保留整數）

【問診】煙囪是“無蓋”的。由于生活經驗的缺乏，學生習慣于求标準圓柱體的表面積，易算成“有蓋”的。因此，本題隻要求該圓柱體的側面積，不需要求圓柱體的表面積。另外，粗心的學生還會忽視本題中單位不一緻的問題。煙囪的長是3米，而直徑是用分米做單位，最後要求的面積也是用平方分米作單位的。因此，在解答此題時，要将煙囪的長度單位化成分米。最後的結果要保留整數，要保證鐵皮夠用，本題應當采用“進一法”保留近似數，部分學生會誤用“四舍五入”保留近似數。數學上有很多這樣的題目要結合生活的原型進行思考。

【練習】長方體火柴盒的長5厘米、寬3厘米、高1厘米。請你算出制作一個這樣的火柴盒至少用硬紙多少平方厘米？（不算粘貼處）

【易錯題8】在比例尺是1/1000的地圖上，量得一長方形地的長是7.5厘米，寬為4厘米。這塊地的實際面積是多少平方米？

【問診】不少學生會用7.5×4=30（平方厘米）求出這塊長方形地的圖上面積，再用圖上面積30×2000=60000平方厘米=6平方米，求出實際的占地面積。這部分同學忽視了面積的變化規律，如果圖上距離：實際距離=1：2000，那麼圖上面積：實際面積應為：12：20002，而不是1：2000。本題求出圖上面積後，應用30×2000×2000=120000000平方厘米=12000平方米求出實際面積；或者也可以先求出實際的長和寬，再求出實際的占地面積。

【練習】在比例尺為1:2000的沙盤上，實際面積為800000平方米的生态公園，圖上的面積是多少平方米？

【易錯題9】用20千克黃豆可榨油13/5千克，平均1千克黃豆可榨油多少千克？榨1千克油需要多少千克黃豆？

【問診】此題圍繞黃豆和油兩個量展開，都運用除法計算，很多同學理不清“20÷13/5”和“13/5÷20”是哪個量。為了幫助孩子學會，引導他們學會從多角度分析，有以下方法：①估算，确定方向。“20千克黃豆可榨油13/5千克”，可知估算1千克黃豆榨不出1千克油，1千克油需要黃豆的重量遠遠多于1千克。估算可以确定所求結果的範圍，預防解題中出現嚴重偏差。②抓住商，确定被除數。确定被除數是此類題目解題技巧。問題中的商和被除數表示同一種物體的量。例如：平均每千克黃豆可榨油多少千克？商是“油”，那被除數應該也是“油”。即用13/5÷20求得每千克黃豆可榨油13/100千克。③抓住平均分，确定除數。确定除數也是技巧之一。可以從“平均分”入手，平均每千克油需要多少千克黃豆？是将油的千克數進行平均分，那除數就是“油”，即20÷13/5＝100/13（千克）。

【練習】某品牌汽車加了30升92号汽油，共用了189.9元，行駛了500公裡。平均每升汽油多少元？每升汽油可以行多少公裡？每公裡耗油多少升？

【易錯題10】小明上山速度為1米/秒，下山速度為3米/秒，則小明上下山的平均速度是多少?

【問診】受平均數定義的影響，少數學生誤以為“平均速度=（上山的速度 下山的速度）÷2”，即 (1 3) =2(米/秒)。其實平均速度的定義為：總路程÷總時間。本題解法不唯一，由于全程未知，我們可以設上山全程為3米，則平均速度為：(3×2)÷(3÷1 3÷3)=1.5(米/秒)。

【練習】從山腳到山頂的路長36千米，一輛汽車上山，需要4小時到達山頂，下山沿原路返回，隻用了2小時到達山腳。求這輛汽車往返的平均速度。