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怎麼區别函數極限與數列的極限
怎麼區别函數極限與數列的極限
更新时间:2025-04-03 18:26:18

在中學《幾何》中,甚至在小學《算術》中,我們都知道半徑為R的圓的周長C=2ԅR,其中ԅ是圓周率,是常數。

那麼這個圓的周長公式是怎樣得到的呢?

一、極限思想和方法在定義圓的周長上的應用

我們會用直尺度量線段的長,從而也就會度量多邊形的周長,因而多邊形的周長是己知的。

但是在圓中圓周是一條封閉曲線,無法用直尺直接度量它的長。

怎麼區别函數極限與數列的極限(函數與數列的極限)1

圖(1)

這樣就出現了一個新問題:何謂圓的周長?也就是,怎樣定義圓的周長?這是計算圓的周長的基礎。

圓的周長是個未知的新概念。

我們知道,未知新概念必須建立在己知概念的基礎之上。

那麼怎樣借助于已知的多邊形的周長定義圓的周長呢?

怎麼區别函數極限與數列的極限(函數與數列的極限)2

圖(2)

我國古代傑出的數學家劉徽創立了的“割圓術”,就是借助于圓的一串内接正多邊形的周長數列定義了圓的周長。

其作法是:

首先作圓的内接正六邊形,其次平分每個邊所對的弧,作圓的内接正十二邊形,以下用同樣的方法,繼續作圓的内接正二十四邊形,圓的内接正四十八邊形 ...... 如圖(3)所示。

怎麼區别函數極限與數列的極限(函數與數列的極限)3

圖(3)

顯然,不論正多邊形的邊數怎樣多,每個圓的内接正多邊形的周長都是已知的。于是,得到一串圓的内接正多邊形的周長數列:

怎麼區别函數極限與數列的極限(函數與數列的極限)4

圖(4)

其中通項

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圖(5)

表示第 n 次作出的圓的内接正

怎麼區别函數極限與數列的極限(函數與數列的極限)6

圖(6)

邊形的周長 。

那麼這一串圓的内接正多邊形與該圓周是什麼關系呢?

劉徽說:“割之彌細,所失彌少。割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣” 。

怎麼區别函數極限與數列的極限(函數與數列的極限)7

圖(7)

很明顯,當圓的内接正多邊形的邊數成倍無限增加時,這一串圓的内接正多邊形将無限地趨近于該圓周,即它們的極限位置就是該圓周。

從内接的正多邊形的周長說,當 n 無限增大時,這一串圓的内接正多邊形的周長數列

怎麼區别函數極限與數列的極限(函數與數列的極限)8

圖(7)

将漸趨穩定于某個數 L 。換句話說,“割之彌細”,用圓的内接正多邊形的周長近似代替圓的周長,而圓的周長“所失彌少”,當“割之又割,以至于不可割”,即圓的内接正多邊形的邊數成倍無限增加時,這一串圓的内接正多邊形的極限位置“則與圓合體”,此時,這一串圓的内接正多邊形的周長數列

怎麼區别函數極限與數列的極限(函數與數列的極限)9

圖(8)

穩定于某個數 L ,L 就應該是該圓的周長

隻有在無限的過程中,才能真正作到“無所失矣”。

根據上述分析:

圓的周長可以這樣定義:若圓的内接正多邊形的周長數列

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圖(9)

穩定于某個數“L”(當n無限增大時),則稱“L”是該圓的周長。

因此在無限過程中,由直邊形的周長數列得到了曲邊形的周長,這就是極限的思想和方法在定義圓的周長上的應用

二、數列的極限

定義:設有數列 {an} ,a 是常數 。若對任意 ε > 0 ,總存在自然數 N ,對任意的自然數 n > N ,有

an - a∣ < ε ,

則稱數列 {an} 的極限是 a (或 a 是數列 {an} 的極限)或數列 {an} 收斂于 a ( {an} 是收斂數列),表示為

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圖(10)

若數列 {an} 不存在極限,則稱數列 {an} 發散 。

ε —— N 語言定義數列極限的定義:

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圖(11)

例題1、證明

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例題1圖(1)

證明

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例題1圖(2)

解得 n > 1/ε -1 . 取 N = [ 1/ε -1 ] . 于是 ,

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例題1圖(3)

收斂數列的性質:

定理1、(唯一性)若數列 {an} 收斂,則它的極限是唯一的 。

定理2、(有界性)若數列 {an} 收斂,則數列 {an} 有界 ,即

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定理2圖

定理3、(保序性)

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定理3圖

收斂數列的四則運算

定理4、若數列 {an} 與 {bn} 都收斂,則和數列 {an bn} 也收斂 。

定理5、若數列 {an} 與 {bn} 都收斂,則乘積數列 {anbn} 也收斂 。

定理6、若數列 {an} 與 {bn} 都收斂,且 bn ≠ 0 , bn 的極限也不等于0 , 則商數列 {an / bn} 也收斂 。

怎麼區别函數極限與數列的極限(函數與數列的極限)18

收斂數列的四則運算圖

收斂數列的判别法

定理7、(兩邊夾定理)設 {an} , {bn} , {cn} 是三個數列 。

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定理7圖

公理(實數連續性)單調有界數列存在極限 。

定理8、(柯西收斂準則)

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定理8圖

三、函數的極限

1、當 x →∞ 時,函數 f(x)的極限

定義:設函數 f(x)在 {x∣ ∣x∣> a} 有定義,b 是常數 。

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函數極限圖(1)

稱函數 f(x)(當 x → ∞ 時)存在極限或收斂極限是 b ,或收斂于 b ,表為

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函數極限圖(2)

注:當自變數 ∣x∣無限增大時,有兩種情況:一是 x → -∞ ;二是 x → ∞ ,極限的分析語言有所表示不同。

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函極限圖(3)

例題2、證明

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例題2圖(1)

證明:

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例題2圖(2)

解得 x < lgε(限定 0 < ε < 1),取 A= -lgε > 0 。于是 ,

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例題2圖(3)

2、當 x → a 時,函數 f(x)的極限

定義:設函數 f(x)在鄰域

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函數極限圖(1)

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函數極限圖(2)

則稱函數 f(x)(當 x → a 時)存在極限,極限是 b ,或 b 是函數 f(x)在 a 的極限,表為

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函數極限圖(3)

這就是函數在一點極限的 ε——δ 定義 。

注:函數 f(x)在 a 的極限和在 a 左、右極限的區别,列表如下

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函數極限圖(4)

例題3、證明

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例題3圖(1)

證明:

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例題3圖(2)

解得 ∣x - 1∣ < ε/2 ,取 δ = ε/2 . 于是 ,

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例題3圖(3)

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