在中學《幾何》中，甚至在小學《算術》中，我們都知道半徑為R的圓的周長C=2ԅR，其中ԅ是圓周率，是常數。

那麼這個圓的周長公式是怎樣得到的呢？

一、極限思想和方法在定義圓的周長上的應用

我們會用直尺度量線段的長，從而也就會度量多邊形的周長，因而多邊形的周長是己知的。

但是在圓中圓周是一條封閉曲線，無法用直尺直接度量它的長。

圖（1）

這樣就出現了一個新問題：何謂圓的周長？也就是，怎樣定義圓的周長？這是計算圓的周長的基礎。

圓的周長是個未知的新概念。

我們知道，未知新概念必須建立在己知概念的基礎之上。

那麼怎樣借助于已知的多邊形的周長定義圓的周長呢？

圖（2）

我國古代傑出的數學家劉徽創立了的“割圓術”，就是借助于圓的一串内接正多邊形的周長數列定義了圓的周長。

其作法是：

首先作圓的内接正六邊形，其次平分每個邊所對的弧，作圓的内接正十二邊形，以下用同樣的方法，繼續作圓的内接正二十四邊形，圓的内接正四十八邊形 ...... 如圖（3）所示。

圖（3）

顯然，不論正多邊形的邊數怎樣多，每個圓的内接正多邊形的周長都是已知的。于是，得到一串圓的内接正多邊形的周長數列：

圖（4）

其中通項

圖（5）

表示第 n 次作出的圓的内接正

圖（6）

邊形的周長 。

那麼這一串圓的内接正多邊形與該圓周是什麼關系呢？

劉徽說：“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣” 。

圖（7）

很明顯，當圓的内接正多邊形的邊數成倍無限增加時，這一串圓的内接正多邊形将無限地趨近于該圓周，即它們的極限位置就是該圓周。

從内接的正多邊形的周長說，當 n 無限增大時，這一串圓的内接正多邊形的周長數列

圖（7）

将漸趨穩定于某個數 L 。換句話說，“割之彌細”，用圓的内接正多邊形的周長近似代替圓的周長，而圓的周長“所失彌少”，當“割之又割，以至于不可割”，即圓的内接正多邊形的邊數成倍無限增加時，這一串圓的内接正多邊形的極限位置“則與圓合體”，此時，這一串圓的内接正多邊形的周長數列

圖（8）

穩定于某個數 L ，L 就應該是該圓的周長。

隻有在無限的過程中，才能真正作到“無所失矣”。

根據上述分析：

圓的周長可以這樣定義：若圓的内接正多邊形的周長數列

圖（9）

穩定于某個數“L”（當n無限增大時），則稱“L”是該圓的周長。

因此在無限過程中，由直邊形的周長數列得到了曲邊形的周長，這就是極限的思想和方法在定義圓的周長上的應用。

二、數列的極限

定義：設有數列 {an} ，a 是常數 。若對任意 ε > 0 ，總存在自然數 N ，對任意的自然數 n > N ，有

∣an - a∣ < ε ,

則稱數列 {an} 的極限是 a （或 a 是數列 {an} 的極限）或數列 {an} 收斂于 a （ {an} 是收斂數列），表示為

圖（10）

若數列 {an} 不存在極限，則稱數列 {an} 發散 。

ε —— N 語言定義數列極限的定義：

圖（11）

例題1、證明

例題1圖（1）

證明

例題1圖（2）

解得 n > 1/ε -1 . 取 N = [ 1/ε -1 ] . 于是 ，

例題1圖（3）

收斂數列的性質：

定理1、（唯一性）若數列 {an} 收斂，則它的極限是唯一的 。

定理2、（有界性）若數列 {an} 收斂，則數列 {an} 有界 ，即

定理2圖

定理3、（保序性）

定理3圖

收斂數列的四則運算

定理4、若數列 {an} 與 {bn} 都收斂，則和數列 {an bn} 也收斂 。

定理5、若數列 {an} 與 {bn} 都收斂，則乘積數列 {anbn} 也收斂 。

定理6、若數列 {an} 與 {bn} 都收斂，且 bn ≠ 0 , bn 的極限也不等于0 ， 則商數列 {an / bn} 也收斂 。

收斂數列的四則運算圖

收斂數列的判别法

定理7、（兩邊夾定理）設 {an} , {bn} , {cn} 是三個數列 。

定理7圖

公理（實數連續性）單調有界數列存在極限 。

定理8、（柯西收斂準則）

定理8圖

三、函數的極限

1、當 x →∞ 時，函數 f（x）的極限

定義：設函數 f（x）在 {x∣ ∣x∣> a} 有定義，b 是常數 。

函數極限圖（1）

稱函數 f（x）（當 x → ∞ 時）存在極限或收斂，極限是 b ，或收斂于 b ，表為

函數極限圖（2）

注：當自變數 ∣x∣無限增大時，有兩種情況：一是 x → -∞ ；二是 x → ∞ ，極限的分析語言有所表示不同。

函極限圖（3）

例題2、證明

例題2圖（1）

證明：

例題2圖（2）

解得 x < lgε（限定 0 < ε < 1），取 A= -lgε > 0 。于是 ，

例題2圖（3）

2、當 x → a 時，函數 f（x）的極限

定義：設函數 f（x）在鄰域

函數極限圖（1）

函數極限圖（2）

則稱函數 f（x）（當 x → a 時）存在極限，極限是 b ，或 b 是函數 f（x）在 a 的極限，表為

函數極限圖（3）

這就是函數在一點極限的 ε——δ 定義 。

注：函數 f（x）在 a 的極限和在 a 左、右極限的區别，列表如下

函數極限圖（4）

例題3、證明

例題3圖（1）

證明：

例題3圖（2）

解得 ∣x - 1∣ < ε/2 ，取 δ = ε/2 . 于是 ，

例題3圖（3）