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九年級上冊數學1元2次方程的解法
九年級上冊數學1元2次方程的解法
更新时间:2025-04-03 18:36:22

一、引入

對于一元二次方程的一般形式ax² bx c=0(a≠0),我們嘗試采用配方法求解:

九年級上冊數學1元2次方程的解法(一元二次方程的解法之公式法)1

九年級上冊數學1元2次方程的解法(一元二次方程的解法之公式法)2

二、公式法及其兩個用途

通過上面解一元二次方程的一般式ax² bx c=0(a≠0),當b²-4ac≥0時,方程有解,那麼解出來的根一定是:

九年級上冊數學1元2次方程的解法(一元二次方程的解法之公式法)3

這個叫做求根公式

我們發現,任何一個一元二次方程的根隻和系數a,b,c有關,也就是說隻要确定了系數,就可以得到方程的根,這就是公式法的第一個用途——根據系數直接确定方程的根

另外我們發現:

當b²-4ac>0時,方程有兩個不等實根

當b²-4ac=0時,方程有兩個相等實根

當b²-4ac<0時,方程無實根

我們經常把△=b²-4ac叫做根的判别式(△是希臘字母,讀作“德爾塔 Delte”),利用它我們可以判别一元二次方程根的個數,這也是公式法的第二個用途

三、利用公式法求解的一般步驟

九年級上冊數學1元2次方程的解法(一元二次方程的解法之公式法)4

九年級上冊數學1元2次方程的解法(一元二次方程的解法之公式法)5

【公式法法求解的一般步驟】:

①将方程化為一般形式

②确定a,b,c的值

③判斷△=b²-4ac的符号

④當b²-4ac≥0時(有實根),我們将a,b,c代入

得到方程的兩個根

當b²-4ac<0時(無實根),我們直接判定方程無實根

【理解】

1、在利用(代入)求根公式之前,要有兩個準備工作

一是必須先把方程化為一般式,因為隻有這樣才能确定a,b,c

二是判定△=b²-4ac的符号,當△≥0時才能代入求根公式,而當△<0時,直接得到方程無實根即可

2、由于在判斷符号的過程中,已經把的值求出,所以在後續的求解中,直接代入即可。另外當△=0時,求根公式中的根号部分為0,此時直接代入x=-b/2a即可

3、我們發現,對于一元二次方程ax² bx c=0(a≠0),當a、c異号時即ac<0時,=b²-4ac中b²≥0,-4ac>0,所以此時一定有>0,即方程有兩個不等實根,如例題中的方程5x²-4x-1=0,由于a、c異号所以方程必然有兩個不等實根,這在做小題時,是個不錯的技巧。

四、練習題

1、用公式法解方程:

(1)x² 3x-4=0

(2)x²-2x 5=2x 4

2、填空

(1)快速判斷:方程x²-4x-1=0_______實數根(填"有兩個不等"、"有兩個相等"或"無")

(2)已知關于x的一元二次方程x²-kx 4=0有兩個相等的實數根,則k=_____

(3)若關于 x的一元二次方程2x²-2x (a 1)=0沒有實數根,則整數a的最小值為__________.

【參考答案】

1、(1)x=1或-4(2)x=2±√3

2、(1)兩個不等;(2)k=±4;(3)0

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