一．皮克公式及簡單應用

你能計算出下圖點陣中多邊形的面積嗎？（四個相鄰點圍成的正方形面積是一個單位面積）.

你可以把多邊形分成若幹小正方形和三角形，分别計算面積後相加，這是一個不錯的辦法.也可以通過剪一剪、拼一拼，采用割補法，這個想法也很好.

1899年，猶太數學家皮克（Georg Alexander Pick）發現了一個被譽為"有史以來最重要的100個數學定理之一"的"皮克定理"（Pick's Theorem）。這個定理是這樣說的：給定頂點座标均是整點（或正方形格子點）的簡單多邊形，計算點陣中多邊形面積的公式：S=a 1/2 b -1

其中a表示多邊形内部的點數，b表示多邊形邊界上的點數，S表示多邊形的面積.在上圖中，a=49，b=11，所以多邊形面積S=49 1/2×11-1=53.5（單位面積）.

用皮克公式是不是更方便？我們可以通過間接計算的方法驗證這個結果：

S＝S長方形－（S1＋S2＋S3＋S4＋S5）＝12×8－（1×4÷2＋6×4÷2＋6×2÷2＋6×4÷2＋7×3÷2）＝96－（2＋12＋6＋12＋10.5）＝96－42.5＝53.5。

哇，最終的結果正如皮克定理所說的那樣，面積的計算居然可以通過數點數來得到，真的很神奇有木有？胡适先生曾給我們留下治學名言:"大膽猜想,小心求證"，這對我們解決一些問題有很好的啟發作用。根據直覺和經驗作出合理、合情的猜想，再對自己提出的猜想或直覺進行嚴謹的求證.

又如一張方格紙上，上面畫着縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點，就是所謂格點．

方格紙中每個小正方形的邊長為1，其中a表示多邊形内部的格點數，b表示多邊形邊界上的格點數，S表示多邊形的面積．

圖①：a＝8，b＝4，可得S＝9； 圖②：a＝5，b＝6，可得S＝7．

皮克公式的如何證明呢，可以将邊界上的點看作是一個個圓，在多邊形邊上的圓其面積隻有一半屬于這個多邊形，但多邊形角上的圓就不一樣了，将夾角的任一個邊延長，與另一條邊的夾角是外角，這角上的圓中外角部分計算面積時多算了，要除去，因多邊形的外角和是360度，所以正好是個整圓．所以面積公式為

例1：求下面各圖形的面積。

【解析】：圖①是個平行四邊形，周界上有10個格點，圖内有4個格點，根據皮克面積公式，圖①的面積為：4 10÷2-1=8；

圖②是個梯形，周界上有8個格點，圖内有2個格點，根據皮克面積公式，圖②的面積為：2 8÷2-1=5；

圖③是個三角形，周界上有6個格點，圖内有4個格點，根據格點面積公式，圖③的面積為：4 6÷2-1=6；

以上3個圖形都是規則圖形，但用數格子方法計算面積比用面積公式計算更簡便。

圖④是個六邊形，周界上有8個格點，圖内有9個格點，根據格點面積公式，圖④的面積為：9 8÷2-1=12。

例2：下圖中喇叭、小貓、小狗的面積各是多少？

【解析】：這三個圖形都适合用格點面積公式計算面積。喇叭周界上有8個格點，圖内沒有格點，面積為：0 8÷2-1=3；小貓周界上有20個格點，圖内有2個格點，面積為：2 20÷2-1=11；小狗圖案可以看着是兩個格點多邊形組成，先分别求出每個格點多邊形的面積，再求出總面積。軀幹面積：0 12÷2-1=5；尾巴面積：0 4÷2-1=1；總面積：5 1=6。

像小狗圖案這樣，由兩個或兩個以上獨立的格點多邊形拼成的多邊形，要求其總面積，一般先求出每個獨立多邊形的面積，再求和，以免發生漏數多個獨立圖形公共格點的錯誤。

3.（2018春•海澱區期中）如圖的網格線是由邊長為1的小正方形格子組成的，小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形，小明研究發現，内部含有3個格點的四邊形的面積與該四邊形邊上的格點數有某種關系，請你觀察圖中的4個格點四邊形．設内部含有3個格點的四邊形的面積為S，其各邊上格點的個數之和為 m，則S與m的關系為（ ）

4.用網格線将平面分成若幹個面積為1的小等邊三角形格子，小等邊三角形的頂點，叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形．設格點多邊形的面積為S，它各邊上格點的個數和為x．

（1）圖中的格點多邊形，其内部都隻有一個格點，它們的面積與各邊上格點的個數和的對應關系如下表，請寫出S與x之間的關系式．

答：S＝_______ ．

（2）請你再畫出一些格點多邊形，使這些多邊形内部都有而且隻有2格點．此時所畫的各個多邊形的面積S與它各邊上格點的個數和x之間的關系式是：S＝_________ ．

（3）請你繼續探索，當格點多邊形内部有且隻有n個格點時，猜想S與x有怎樣的關系？答：S＝ _________．

【解答】（1）圖中的格點多邊形，其内部都隻有一個格點，請你填寫下表．

答根據以上信息，多邊形的面積＝各邊上格點個數，即S＝x；

（2）根據圖可知：

正方形的面積是8，它的各邊上格點的個數和x是6，中間格點數是2，8＝6 2；三角形的面積是5，它的各邊上格點的個數和x是3，中間格點數是2，5＝3 2；五邊形的面積是7，它的各邊上格點的個數和x是5，中間格點數是2，7＝5 2；那麼S＝x 2；

（3）通過上題探究可知：最後的1就是内部的格點數2n﹣2而得；

所以格點多邊形面積＝各邊上格點的個數和× （多邊形内部格點數的2被﹣2）；即：S＝x （2n﹣2）；

二．皮克公式應用易錯情形說明

如圖所示，圖是由外圈的八邊形和内圈的長方形構成的"0"形圖案，求這個"0"形的面積．

【錯誤解法一】圖中八邊形的邊界格點數為14，長方形的邊界格點數為10，八邊形和長方形的内部格點數為0，由皮克公式可得：

【錯誤解法二】圖中八邊形的邊界格點數為14，長方形的邊界格點數為10，整個圖形的内部格點數為2，由皮克公式可得：

【分析】以上錯解是沒有正确理解格點多邊形的概念。圖中的"0"其實不是一個單獨的格點多邊形，而是由兩個格點多邊形複合而成的圖形，故不能直接套用格點公式，需要分開來計算。

三．皮克公式适用範圍

四．皮克公式拓展

從一維特例出發。我們選擇一維的特例來思考，此時不過是簡單的"植樹問題"。例如：在一條線段上每隔單位距離種一棵樹（即在格子點上種樹），兩端皆種，問線段有多長？

我們觀察到格子點可分成内點（interior points）與邊界點（boundary points）兩類。假設内點與邊界點的個數分别為i與b(事實上 b=2)。顯然線段之長 L 為：

我們也可以這樣想：如果在相鄰兩格子之中點加以分割，得到許多小段，那麼每一個内點所在的小段皆具有單位長度，而每一個邊界所在的小段隻有1/2單位長度。換言之，一個内點貢獻一個單位長度，而一個邊界點隻貢獻了1/2個單位長度。因此，線段的長度為：

（二）推廣到二維平面