正方形,可以說是最中規中矩,平平無奇的圖形了。幾乎所有人都知道正方形的形狀,也都知道正方形面積和周長怎麼計算。可是你知道就是這個平平無奇的正方形,隐藏了多少神奇的數字秘密嗎?今天我們就一起來看看正方形裡隐藏了哪些秘密。
首先,我們來看一下下面這幾個正方形的圖片。
我們發現,上面的幾個正方形都是由小正方形組成的,小正方形的個數都是平方數,分别是1的平方,2的平方,3的平方,4的平方。
接下來,我們做一個簡單的變化,把正方形的顔色進行一個改動。
平方數的另外一種表達
把小正方形顔色進行一個改變,我們發現小正方形的個數可以寫成1 3 5 7…… n(n為奇數)的形式。
通過對比我們發現1 3=2的平方 1 3 5=3的平方 1 3 5 7=4的平方
通過規律,我們發現1 3 5 7…… n=(1 n)/2 的平方。
運用這個規律,我們可以求出100以内所有奇數相加的和:
1 3 5 7 …… 97 99=50^2=2500
那麼100以内的所有偶數相加的和我們也可以得到:
2 4 6 8 …… 98 100=(1 3 5 7 …… 97 99) 50=2550
于是我們也會算1 2 3 …… 99 100=5050。
這個計算方法我們在學了等差數列之後就很簡單了,但是我們現在不用等差數列,通過正方形的規律我們也能夠計算,是不是很神奇呢。
接下來,奇妙的事情又會出現,我們把小正方形的顔色再做一個變化:
平方數的另一種表達方式
我們發現,正方形的個數又可以換一種計算方式,可以寫成1 2 3 4 3 2 1這樣的形式,那麼這個式子等于多少呢,很明顯,等于4的平方。
那麼1 2 3 4 ……99 100 99 ……4 3 2 1等于多少呢,通過規律,我們發現最中間那個數是多少,就等于多少的平方,所以這個式子就等于100的平方10000,是不是很神奇啊。
上面,我們通過小正方形拼成大正方形發現了兩個重要的數字秘密,接下來,我們換一種方式,來看另外一個神奇的秘密。
先看一個題目:
1/2 1/4 1/8 1/16=?
1/2 1/4 1/8 1/16 …… 1/128=?
對都一個式子,我們可能直接算問題不大,可是第二個式子項數增加了,算起來就麻煩了,有沒有簡單的方法呢?
我們通過分解正方形來找到答案。
我們對這個面積為1的正方形進行不斷地2等分,發現:
1/2=1-1/2
1/2 1/4=1-1/4
1/2 1/4 1/8=1-1/8
1/2 1/4 1/8=1/16=1-1/16
正方形可以無限分割,這個規律也可以無限進行下去。所以上面那個題目我們可以一秒鐘算出答案。
1/2 1/4 1/8 1/16 …… 1/128=1-1/128=127/128.
是不是很神奇啊。
圖形裡面有數字規律,這就是數形結合的神奇之處。你還有哪些數形結合的秘密,歡迎評論區分享哦。
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