實軸和虛軸相等的雙曲線稱為等軸雙曲線，也稱等邊直角雙曲線、直角雙曲線（因為兩漸近線夾角為直角），是最有趣的一類特殊雙曲線，因為它經過旋轉可以變成反比例函數y=k/x,這也和上節雙曲線的性質5相印證。

關于等軸雙曲線内接三角形的問題一般都比較容易計算，當然也有一些相對較難的問題，本公衆号前面的幾篇文章就是相關的問題(《2020年高聯一試11題的七種解法》，《單墫老師的等軸雙曲線共圓問題》，《蝴蝶定理之十二》等)。

本篇專門介紹等軸雙曲線的一些常見性質。為了方便計算，這裡等軸雙曲線都用y=k/x。

對于反比例函數E：y=k/x，A、B、C是其上三點，A'B'C'分别為BC,AC,AB中點，H為△ABC垂心，△ABC外接圓與E的第四個交點為D。

1 求H的軌迹

2 若BA⊥AC,則過A的切線AT和BC有什麼位置關系？

3 H，D什麼關系？

4 以H為圓心HD為半徑的圓交E于XYZ，判斷△XYZ形狀并證明。

5 若AC為圓的直徑，判斷B、D的關系并證明。

6 △A'B'C'外接圓是否恒過定點。

7過△ABC邊與x軸交點做此邊垂線，三條垂線是否共點？

8 E上任取兩點M、N，∠MHN,∠MDN有什麼關系？

9 A關于O對稱的為Z，E上任取點M，∠AMD,∠ZMH有什麼關系？

設坐标為A(a,k/a),B(b,k/b),C(c,k/c),H(x,y),

1 求H的軌迹

由坐标顯然H在E上，故H的軌迹為E。

注：

此性質巧奪天工，一般稱為布利安香—彭色列定理，是等軸雙曲線内接三角形最神奇也是最核心的性質。

2 若BA⊥AC,則過A的切線AT和BC有什麼位置關系？

不難發現AT⊥BC。

思路一：

求出AT斜率，由直角得到數量關系式，然後說明AT⊥BC。

證明一：

思路二：

利用1中結論，結合切線定義即得。

證明二：

由1知任意△ABC垂心H也在E上且AH⊥BC。

當H和A無限接近時，BA⊥AC且AH變為E在A處的切線，

從而得到AT⊥BC.

注：

本結論也很優雅。上述兩種思路殊途同歸，都用到了切線的最原始的定義。當然比較而言，思路二更自然，更本質。也說明本題其實是上題結論的推論。

3 H，D什麼關系？

思路分析：

不難猜測H和D關于原點對稱。最自然的思路求出ABC外接圓方程，然後和E聯立，解出D點坐标，最後說明H和D關于原點對稱。但是這樣做起來比較麻煩，計算量很大。所以最好想其他相對簡潔的證法。

思路一：

退而求其次的方法是同一法：求出H關于原點的對稱點H’,然後利用到角公式說明∠BAC=

∠BH’C,即得D,H’重合。從而得證。

證明一：

思路二：可以設出外接圓方程，和E聯立消去y，利用四次方程的韋達定理即可得到D點坐标。從而得證。

注：

(1)本結論也是美不勝收、深刻隽永。證明卻頗為不易，直接求出圓的方程，聯立解出D，思路自然，卻很難完成。上述思路一用同一法曲徑通幽、可圈可點。思路二以退為進，聯立得到四次方程，利用四次方程韋達定理一語中的、直擊肯綮，隻是要知道n此方程的韋達定理，超出了高考範圍，算是競賽的内容了。當然此題應該還有其他的解法，有興趣的讀者可以探讨。

(2)本結論可以等價叙述為，若某圓與E交于ABCD四點，則D關于原點的對稱點為△ABC垂心，當然對稱的，ABC每一個點關于原點的對稱點也是另三點構成的三角形的垂心。由此還能得到圓内接四點，每三點構成的三角形的垂心得到的四邊形和原四邊形對稱，對稱中心即為原點O。此時O一般稱為圓内接四邊形的歐拉-彭色列點，此點有豐富而有趣的性質。我在前面文章（《單墫老師的等軸雙曲線共圓問題》）中提到過，有興趣的讀者可以參考。

4 以H為圓心HD為半徑的圓交E于XYZ，判斷△XYZ形狀并證明。

思路分析：

不難想象△XYZ為正三角形。隻需證明其某兩個心重合即可，結合上題即得證。

證明：

依題意HX=HY=HZ,故H為△XYZ外心，再結合上題知H為△XYZ垂心，

故2∠X=180°-∠X,則∠X=60°，同理∠Y=60°，故△XYZ為正三角形。

注：

本題也可以不直接用上題結論，類似上題解法2利用四次方程韋達定理解決。當然本題隻需證明△XYZ某兩個心重合即可，也可以證明外心和重心重合等。

5 若AC為圓的直徑，判斷B、D的關系并證明。

解：B,D關于原點對稱。

若AC為圓的直徑，則∠ABC=90°，從而B、H重合，由第3題知H,D關于原點對稱。故B,D關于原點對稱。

6 A'B'C'外接圓是否恒過定點。

思路分析：

不難想象△A'B'C'外接圓恒過原點O，隻需利用到角公式證明∠OC’A=∠PB’A’即可，

解：

注：

(1)本結論也美不勝收，熟悉平面幾何的讀者知道其實這個圓就是大名鼎鼎的九點圓，令H、G、O為△ABC垂心、重心、外心。此圓還經過△ABC三條高線的垂足及AH、BH、CH的中點，故名九點圓。此圓圓心為OH中點且九點圓和外接圓的内外位似中心為H,G，位似比為0.5。這樣一來，利用本題前面的結論2就“顯而易見”了：由本結論知O在九點圓上，從而O關于H的位似點D在△ABC的外接圓上。

(2)利用本結論，還能得到任意四點中每三點構成的三角形的九點圓（共四個）共點于歐拉彭色列點。

7 過△ABC邊與x軸交點做此邊垂線，三條垂線是否共點？

解：

注：熟悉平面幾何的讀者知道，此結論即為西姆松定理逆定理，由西姆松定理知J在ABC外接圓上。由坐标還可得到JD//x軸。

即∠MHN ∠MDN=180°，

這是通過倒角公式得到的，是有方向的，但是因為這我們平常所說的角有區别，所以有時候兩個角是可以相等的。

綜上∠MHN,∠MDN相等或互補。

同上∠MHN,∠MDN相等或互補。

思路二：利用上題結論

解：如圖，由上題知∠MAH=∠MZH,∠MHZ=180°-∠MDZ=180°-∠MSH=∠MSA,

∴∠AMD=∠ZMH,同理可得其餘，故∠MHN,∠MDN相等或互補。

注：

本題結論即為對平行四邊形對邊張角相等的點的軌迹為上述等軸雙曲線。