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等腰直角三角形的八大題型
等腰直角三角形的八大題型
更新时间:2025-04-04 09:58:39

等腰直角三角形是一種特殊的三角形。具有兩直角邊相等,兩銳角相等,斜邊中線角平分級垂線三線合一等性質。今天我們就利用它的性質來解一道題。

如圖,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點E是邊AC上一點,點D是BE延長線上一點,過點A作AF⊥BD于點F,連接CD,CF,當AF=DF時,求證:DC=BC。

我們一起來分析一下這道題。

等腰直角三角形的八大題型(活用等腰直角三角形的性質解題)1

從圖中我們可以看到,因為RtΔABC是等腰直角三角形,要證明DC=BC,隻需證明DC=AC就可以了。

而在ΔCFD和ΔCFA中,AF=DF,CF=CF,如果能證明∠AFC=∠DFC,就可證明兩個三角形全等,DC=AC。

而∠AFC=∠AFE ∠CFE,AF⊥BD,∠AFE=∠AFD=90°,隻需證明∠EFC=45°,就可以得到∠AFC=∠DFC=135°。

于是,我們就要想辦法把∠EFC構建在一個等腰直角三角形中。從圖中可知有兩種做輔助線的方法:

等腰直角三角形的八大題型(活用等腰直角三角形的性質解題)2

一是如圖二,過點C作CG⊥BD于點G; 雖然能很容易判明AF∥CG,∠ACG=∠EAF=∠CBE,但無法證明别的關系,不能确定RtΔCGF是等腰直角三角形,∠EFC=45°。

第二種作輔助線的方法如圖三,過點C作CG⊥CF,交BD于點G。

等腰直角三角形的八大題型(活用等腰直角三角形的性質解題)3

因為CG⊥CF,所以∠FCG=90°,∠ECG ∠FCE=90°

由已知條件知∠ACB=90°,∠ECG ∠GCB=90°

∠FCE=∠GCB

因為RtΔAFE與RtΔBCE構成8字模型,所以∠EAF=∠CBE

在ΔACF和ΔBGC中

∠EAF=∠CBE

AC=AB

∠FCE=∠GCB

所以ΔACF≌ΔBGC,CF=CG

因為CG⊥BD,所以ΔCGF為直角三角形

又因為CF=CG,所以ΔCGF為等腰直角三角形,∠EFC=∠FCG=45°

所以∠AFC=∠AFE ∠EFC =135°,所以∠DFC=135°

在ΔACF和ΔDCF中

AF=DF

∠AFC=∠DFC

CF=CF

所以ΔACF≌ΔDCF,CD=AC

所以CD=BC

這是我對這道題的解析,希望能對朋友們有所幫助,更期待得到您更簡捷的方法。

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