【考點聚焦突破】

考點一　用空間向量求異面直線所成的角

【規律方法】

1.利用向量法求異面直線所成角的一般步驟是：(1)選好基底或建立空間直角坐标系；(2)求出兩直線的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解.

2.兩異面直線所成角的範圍是θ∈，兩向量的夾角α的範圍是[0，π]，當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線的夾角.

考點二　用空間向量求線面角

【規律方法】　利用向量法求線面角的方法：

(1)分别求出斜線和它在平面内的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；

(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其餘角就是斜線和平面所成的角.

考點三　用空間向量求二面角

【規律方法】　利用空間向量計算二面角大小的常用方法：

(1)找法向量：分别求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然後通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小.

(2)找與棱垂直的方向向量：分别在二面角的兩個半平面内找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

考點四　用空間向量求空間距離(供選用

【規律方法】

1.空間中兩點間的距離的求法

兩點間的距離就是以這兩點為端點的向量的模.因此，要求兩點間的距離除了使用距離公式外，還可轉化為求向量的模.

2.求點P到平面α的距離的三個步驟：

(1)在平面α内取一點A，确定向量的坐标表示；

(2)确定平面α的法向量n；

(3)代入公式d＝求解.

【反思與感悟】

1.利用空間向量求空間角，避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩，使空間點、線、面的位置關系的判定和計算程序化、簡單化.主要是建系、設點、計算向量的坐标、利用數量積的夾角公式計算.

2.利用法向量求距離問題的程序思想方法

第一步，确定法向量；

第二步，選擇參考向量；

第三步，确定參考向量到法向量的投影向量；

第四步，求投影向量的長度.

【易錯防範】

1.異面直線所成的角與其方向向量的夾角：當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；否則向量夾角的補角是異面直線所成的角.

2.利用向量法求二面角大小的注意點

(1)建立空間直角坐标系時，若垂直關系不明确，應先給出證明；

(2)對于某些平面的法向量，要結合題目條件和圖形多觀察，判斷該法向量是否已經隐含着，不用再求.

(3)注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結合圖形進行，以防結論失誤.