一、定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax² bx c（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大），則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

二、二次函數的三種表達式

一般式：y=ax² bx c（a，b，c為常數，a≠0）

頂點式：y=a(x-h)² k[抛物線的頂點P（h，k）]

交點式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[僅限于與x軸有交點A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物線]

注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：

h=-b/2a

k=(4ac-b²)/4a

x₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a

三、二次函數的圖像

在平面直角坐标系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條抛物線。

四、抛物線的性質

1.抛物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

對稱軸與抛物線唯一的交點為抛物線的頂點P。特别地，當b=0時，抛物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）。

2.抛物線有一個頂點P，坐标為：P(-b/2a，(4ac-b²)/4a)。當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b²-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項系數a決定抛物線的開口方向和大小。

當a＞0時，抛物線向上開口；當a＜0時，抛物線向下開口。|a|越大，則抛物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同号時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異号時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定抛物線與y軸交點。抛物線與y軸交于（0，c）。

6.抛物線與x軸交點個數：

Δ=b²-4ac＞0時，抛物線與x軸有2個交點。

Δ=b²-4ac=0時，抛物線與x軸有1個交點。

Δ=b²-4ac＜0時，抛物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x=-b±√b²－4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）

五、二次函數與一元二次方程

特别地，二次函數（以下稱函數）y=ax² bx c。

當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax² bx c=0。

此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫坐标即為方程的根。

1.二次函數y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)² k，y=ax² bx c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，隻是位置不同。

它們的頂點坐标及對稱軸如下表：

當h>0時，y=a(x-h)²的圖象可由抛物線y=ax²向右平行移動h個單位得到。

當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到。

當h>0，k>0時，将抛物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)² k的圖象。

當h>0，k<0時，将抛物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)² k的圖象。

當h<0，k>0時，将抛物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)² k的圖象。

當h<0,k<0時，将抛物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)² k的圖象。

因此，研究抛物線y=ax² bx c(a≠0)的圖象，通過配方，将一般式化為y=a(x-h)² k的形式，可确定其頂點坐标、對稱軸，抛物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

2.抛物線y=ax² bx c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐标是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)．

3.抛物線y=ax² bx c(a≠0)，若a>0，當x≤-b/2a時，y随x的增大而減小；當x≥-b/2a時，y随x的增大而增大．若a<0，當x≤-b/2a時，y随x的增大而增大；當x≥-b/2a時，y随x的增大而減小．

4.抛物線y=ax² bx c的圖象與坐标軸的交點：

(1)圖象與y軸一定相交，交點坐标為(0，c)；

(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax² bx c=0(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x₂-x₁|。

當△=0．圖象與x軸隻有一個交點；當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．

5.抛物線y=ax² bx c的最值：如果a>0(a<0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a．

頂點的橫坐标，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐标，是最值的取值．

6.用待定系數法求二次函數的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：y=ax² bx c(a≠0)．

(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐标或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)² k(a≠0)．

(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐标時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．

7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．

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