平面向量與三角形的三心問題-tft每日頭條

要高考了，“臨時抱佛腳”有之，“放飛自我”有之，“恣意妄為”有之，“渾然不顧”有之……緩解壓力，使盡渾身解數。

高考有多恐怖？

你去了，就知道了。反正不是你想的那樣，也不是别人所說的那樣。能夠描述的恐怖都不叫恐怖。我總是用道理說服自己，加上反應遲鈍，所以從未感知到恐怖的垂青。隻記得，“金戈鐵馬，氣吞萬裡如虎”。

1 圍觀

一葉障目，抑或胸有成竹

平面向量與三角形的三心問題（第二百四十七夜）1

第2問有意思，結構對稱、形式優美——這便是一眼相中的原因。

解三角形結合平面向量，地方卷中司空見慣，全國卷中卻鮮有涉及。地方卷的命題者或多或少會加入到全國卷的行列，所以你懂的。

這未免危言聳聽，但“風雨多變幻，出門早看天”總是沒錯的。

2 套路

手足無措，抑或從容不迫

平面向量與三角形的三心問題（第二百四十七夜）2

第1問，樣子像餘弦定理，所以不由自主地往上靠，手到擒來。

送分是個技術活，既不能明目張膽，也不能鬼鬼祟祟。前者凸顯水準，後者檢驗人品，所以繞個彎便是柳暗花明。

第2問，化簡目标，正弦定理代換為三角函數的有界性。需要注意的是，角B的限制不單隻考慮角B，還要結合角C才能确保完備。

平面向量與三角形的三心問題（第二百四十七夜）3

法2的思路來源于封閉三角形與三數和的平方。然後，同樣利用正弦定理轉化為三角函數的有界性，剩下的與法1并無二緻。

上述方法看似高屋建瓴，實則大炮打蚊子，得不償失。我寫出來，無非是說明，這也是一種可能。

平面向量與三角形的三心問題（第二百四十七夜）4

法3，直接利用數量積的定義，将目标轉化為邊角關系。接下來可從餘弦定理或射影定理出發，化角為邊。

射影定理亦稱之為“第二餘弦定理”，在計算中，往往一劍封喉。化簡後，考慮臨界值，恰好是兩個極端——等邊三角形和直角三角形，由此求得結果。

3 腦洞

浮光掠影，抑或醍醐灌頂

事實上，本題是一道典型的“定弦定角模型”。

如圖，邊BC的長度一緻，角A的大小不變，則角A在單位圓O上運動。又三角形ABC為銳角三角形，則角A在劣弧A1A3上運動（不含端點）。當角A位于點A1或A3時，目标值最大；當角A位于弧A1A3的中點A2時，目标值最小。

平面向量與三角形的三心問題（第二百四十七夜）5

4 操作

形同陌路，抑或一見如故

平面向量與三角形的三心問題（第二百四十七夜）6

平面向量與三角形的三心問題（第二百四十七夜）7