巧用四點共圓尋找等量關系(2020年武漢第24題)

給你一個圓，在圓周上任意找四個點，容易之極；反過來，平面上任意四個點，是否在同一個圓上？就這比較麻煩了，我們的判斷方法有多種，可以從定義出發，如果這四個點到某個點的距離相等，或者說這四個點圍成的四邊形對角互補，那麼便能判斷四點共圓。

共圓的好處是引入了新的圖形——圓，于是在圓的相關性質加持下，解決問題就有了新的途徑。

題目

将抛物線C:y=(x-2)²向下平移6個單位長度得到抛物線C1，再将抛物線C1向左平移2個單位長度得到抛物線C2.

(1)直接寫出抛物線C1，C2的解析式；

(2)如圖1，點A在抛物線C1對稱軸l右側上，點B在對稱軸l上，△OAB是以OB為斜邊的等腰直角三角形，求點A的坐标；

(3)如圖2，直線y=kx(k≠0，k為常數)與抛物線C2交于E，F兩點，M為線段EF的中點，直線y=-4x/k與抛物線C2交于G，H兩點，N為線段GH的中點，求證：直線MN經過一個定點.

解析：

(1)揪住頂點坐标再來看平移，是最簡單的方法，C1為y=(x-2)²-6，C2為y=x²-6；

(2)請注意“以OB為斜邊的直角三角形”，并聯想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，更進一步想到直角三角形一定存在一個外接圓，且圓心恰好就是斜邊中點。

有以上基礎，後面的問題便好解決了，如下圖：

當點A在x軸上方時，對于Rt△OBD和Rt△OBA，斜邊都是OB，于是它們的外接圓圓心都是OB中點，且直徑也是OB，因此A，B，O，D四點共圓，過點A作AK⊥x軸；

共圓的好處就是角度轉換可以利用圓周角相等了，∠AOB=∠ADB=45°，于是得到∠ADK=45°，發現△ADK也是等腰直角三角形，不妨設A(x,x²-4x-2)，則AK=DK=x²-4x-2，OK=x，得方程x-2=x²-4x-2，解得x=0或x=5，由于點A在對稱軸x=2右側，因此A(5,3)；

當點A在x軸下方時，如下圖：

方法與前一種情況類似，隻是在列方程的時候注意符号，x-2=-(x²-4x-2)，解得x=-1或x=4，由于點A在對稱軸x=2右側，因此A(4,-2)；

(3)抛物線解析式已知，直線解析式中含參數k，因此基本思路是将點坐标用含k的代數式表示出來，然後表示出直線MN的解析式，根據解析式的特點判斷是否經過定點，如下圖：

首先聯立直線EF和抛物線C2，得出點E，F坐标，再利用中點公式得到點M坐标，類似的，得到點N坐标，再表示直線MN的解析式，推導如下：

從MN的解析式可以看出來，它經過定點(0,2).

解題反思

今年武漢地區受疫情影響嚴重，因此壓軸題難度比去年有所降低，但作為選拔性考試，依然需要一定思維突破，而第2小題的難點就是想到利用四點共圓，從而得到等腰直角三角形，再利用它尋找數量關系；第3小題考察了學生對中點公式的理解和韋達定理的使用，對于含參二次函數，大膽設元，仔細推導才能順利求解。

對于四點共圓，和我們通常所說的隐圓有異曲同工之妙，多數時候學生習慣于在全等和相似中找角的等量關系，而在圓中，則要習慣于看圓周角所對的弧，隻有心中有圓，才能體會其中的妙處，這對平時課堂教學也提出更高要求，畢竟學生這些能力的培養，都要通過一節節紮實高效的數學課堂來實現。

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