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中文裡的虛數
中文裡的虛數
更新时间:2025-04-08 13:53:18

我們知道,一個數的平方,永遠是正數,10的二次方是正100,負10的二次方還是正100。所以可以理所當然地認為,隻有正數才有平方根,負數是沒有平方根的。但數學家們在進行計算的時候,其實經常會碰到負數的平方根。比如說,有沒有可能找出兩個數字,讓它們加起來等于10,乘積等于40呢?在實數範圍内來看,答案是不存在的。但如果允許負數的平方根存在的話,那我們就可以找出一個答案,隻不過這個答案中會包含根号-15這個奇怪的數字。數學家給負數的平方根起了個名字,跟實數相對應,叫虛數,還規定,根号-1叫i,這樣的話,根号-20就是20i,根号-15就是15i。

虛數

中文裡的虛數(虛數的介紹)1

但虛數這個東西,實在是看不出它有什麼意義,所以即使它在數學計算裡大量出現,數學家們一開始還是不承認它的名分。比如著名的數學家歐拉就說,虛數是想象出來的數,是不可能存在的,它們什麼都不是,純屬虛幻。不過話雖這麼說,歐拉該用虛數的時候還是用,因為實在沒辦法,不用的話,很多計算根本無法進行。

空間中的數

中文裡的虛數(虛數的介紹)2

虛數的這種尴尬地位持續了整整有200多年,最後還是兩個業餘數學家給了它一個名分。這倆人一個是測繪員,一個是會計師,他倆從幾何的角度,給虛數做了這樣一個解釋:你看啊,我們平常說的“數軸”,一般就是畫一條橫線,然後标上一個零點,左邊是負數,右邊是正數。那虛數如果要在數軸上找一個位置,應該怎麼找呢?這兩位說,在這條橫線上,那肯定是找不到的,我們應該在零點處畫一條跟橫軸垂直的縱軸,也标上1、2、3、4……隻不過這條線是代表虛數,所以其實是1i、2i、3i……這樣一來,兩條線組成一個坐标系,所有的數字,就都能在這個坐标系裡找到了。比如15i,也就是根号-15,就在坐标軸裡的縱軸上,如果是20 根号-15,那就在橫軸上找到20,縱軸上找到15i,然後二者一交會,就能在坐标軸裡找到這個數字。

坐标軸

中文裡的虛數(虛數的介紹)3

你肯定想問,道理我都懂,但這個虛數不還是沒用嗎?其實,虛數還真有用,而且有大用處。我們可以用虛數,來把時間和空間結合起來,構建出一套四維空間的幾何學。而這套幾何學會讓我們發現,時間和空間并不是絕對獨立的,也不是恒定不變的。如果你對物理學比較熟悉就會發現,這個觀點就是愛因斯坦相對論的雛形。

虛數有用嗎

中文裡的虛數(虛數的介紹)4

維度

中文裡的虛數(虛數的介紹)5

我們生活的世界,在空間上是一個三維世界,意思就是說,确定任何一個位置,無論你采用哪種方法,都至少需要三個維度的數據才能确定,比如經度、緯度和高度。但如果我們要确定某件事情的具體狀況,那光有空間還不夠,還得加上另一個維度,時間。比方說,在2017年9月24日晚上10點,北京市海澱區下了一場雨,這才能準确地說出一個具體的事件。所以,我們需要四個維度,才能準确地确定某件事的時空位置。也就是說,我們生活在一個四維的時空世界中。

但如果要把時間看成是第四維度,就必須要面對一個問題,就是怎麼才能把時間和空間聯系到一起進行計算呢?比如說,我們怎麼才能測量一個四維時空裡兩個事件之間的距離呢?如果要測量長寬高,那我們可以用統一的單位,比如多少米、多少英尺。但如果要測量時間的話,就隻能用小時、分鐘、年這些計量單位。那1米跟1小時,怎麼結合?

測量

中文裡的虛數(虛數的介紹)6

乍看起來,這個問題就跟負數的平方根一樣,毫無意義,但其實也有辦法解決。舉個例子。如果你出門問路,說地鐵站還有多遠啊?那人家可能會跟你說,有點遠,走路還要20分鐘,你不如騎個共享單車,5分鐘就到了。這就是一個典型的,用時間來表示距離的辦法。我們隻要找到一個确定的速度,就可以把時間轉換成空間。那怎麼找到這個确定的速度呢?你可能已經想到了,就是光速。科學家已經發現,光在真空中的傳播速度是恒定的,不受任何情況的影響。如果我們把光速和時間結合到一起,就可以得到一個距離單位,比如光年就是一個距離單位,代表光在一年時間内傳播的距離。如果我們要計算5分鐘相當于多遠,那就用5分鐘乘以光速,就能得到一個距離。

超正方體

中文裡的虛數(虛數的介紹)7

現在所有的工具都全了,我們看看科學家是如何确定四維時空裡,兩個事件的距離的。測量兩個事件在空間上的距離很簡單,而時間上的距離剛才也說了,我們可以測出兩個事件之間的時間間隔,然後乘以光速,就能得到一個距離。

關鍵在于,時間和空間,畢竟還是不一樣的兩種東西。不能把這兩個結果簡單地加在一起,那樣是沒有意義的。這兩個距離必須要有所區分,顯示出不同才行。那怎麼區分呢?科學家想了個辦法:建立一個坐标系,然後把空間距離當做橫軸,時間距離當成縱軸,這樣一來,四維時間裡的距離,就既有空間意義,也有時間意義,能把兩者完美地結合到一起。

維度之外

中文裡的虛數(虛數的介紹)8

聽到這個坐标軸,你應該想起了剛才說到的虛數吧?沒錯,在這種計算中,虛數就發揮了重要的作用。因為代表時間距離的那根縱軸,實際上就相當于虛數軸。在四維空間的計算中,時間距離前面,是要乘以i的,也就是乘以根号負1,以顯示出時間和空間的本質不同。

計算

中文裡的虛數(虛數的介紹)9

利用虛數将時間和空間結合在一起,組成坐标系之後,科學家發現了一個非常奇異的現象:我們平常所說的兩個事件之間的時間距離和空間距離,其實可以看作是四維距離在時間和空間這兩根坐标軸上的投影。這麼一來,一旦旋轉這個四維坐标系,就可以讓時間和距離相互轉化。從這一點出發,我們會發現,時間和空間都不是恒定不變的,而是跟物體的運動狀态有關。什麼意思呢?一個靜止的人,和一個高速運動的人,時間在他們身上流逝的快慢是不同的。這就相當于運動旋轉了時空坐标系,因此改變了四維距離在時空坐标軸上的投影。聽到這裡,你可能已經意識到了,這不就是狹義相對論嘛。也就是說,數學家們曾經以為沒用的虛數,在相對論的計算中就派上了一個大用場。人們恍然間發現,原來看似毫無意義的虛數之下,居然隐藏着如此重要的意義。

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