本文作者劉瑞祥，[遇見數學] 感謝劉老師投稿支持！

人類研究三角形至少有兩千年以上的曆史，這種情況下我要講出新的内容大概不可能，我盡量避免落入俗套，希望對讀者有所裨益。

一、三角形的特殊性

相比于其它多邊形，三角形确實有一些特殊之處，比如這是唯一一種沒有對角線的多邊形，是唯一一種内角和小于外角和的多邊形，是唯一的隻有平面沒有立體的多邊形，等等。但三角形最特殊的地方在于，隻要确定了其中部分元素就能定下來其餘元素，比如我們證明三角形全等的時候就有邊角邊、邊邊邊、角邊角、角角邊定理。說到這裡我有個疑問：那就是無論歐幾裡得的《幾何原本》還是希爾伯特的《幾何基礎》，都是以邊角邊為基礎推出另外幾個全等命題（希著有專門的合同公理，歐著則不嚴格），那麼是否可以把邊角邊作為其它全等命題的推論呢？或者說，這需要怎樣的公理體系？這是一個問題。

除此以外，三角形還在希爾伯特的公理體系中有重要應用，比如除了前面提到的關于三角形的合同公理，至少還有一條直接和三角形相關的公理——平面順序公理，即一條直線從三角形的一條邊穿進去，一定會從三角形的另兩邊之一穿出來。

三角形還有幾個頗為值得一提的地方，比如衆多的三角形面積公式就很有意思。從小學時我們就知道的底乘以高的一半，一直到用行列式計算。我國數學家張景中研究的計算機生成可讀性幾何證明課題，其中一個重要思想就是通過面積來證明的。我想讀者們知道這些面積公式的不少，我隻提一個問題：如果不允許用三角形面積公式，你能證明等底等高的三角形面積全等嗎？

三角形中還有好多個“心”，常見的就有重心、内心、外心、旁心、垂心。你都知道這些“心”的哪些性質？

二、“虛”的三角形

有時我們在證明題中需要構造一個或者多個三角形。典型的是用面積法證明平行線分線段成比例：

還有證明圓幂定理：

在反演問題中，要證明一條已知直線關于已知圓的反演形是過該圓圓心的圓，也要引入三角形。 這方面最妙的例子，我覺得是用三角形全等證明同角的鄰補角相等。

立體幾何中我僅舉一例，即證明直線垂直平面的判定定理，需要多次證明三角形全等。

三角形在立體幾何中的應用遠不止如此，比如要證明兩個三面角全等或者對稱，就和證明三角形全等差不多，而且五種正多面體中就有三種是由正三角形構成的。

三、尺規作圖

三角形在尺規作圖中很重要，比如《幾何原本》中的第一個命題就是作正三角形，而且這個命題的第一個用途居然移動已知線段。《幾何原本》所以這麼作，是因為這其中的圓規是所謂的“松規”，即看作是隻要兩腳離開頁面就會合在一起的圓規，因此無法直接用來移動線段（見左圖）。但《幾何原本》裡的這個作圖到底還是需要尺子的配合，如果沒有尺子呢？方法很簡單（見右圖）：

設已知點 A 和線段 BC，要求以 A 為頂點作一條長度等于 BC 的線段。

1. 分别以 A、B 為圓心，AB 長為半徑做圓，二圓分别交于 D、E 點；
2. 分别以 D、E 為圓心，DC、EC 為半徑做圓，二圓交于 F 點。
3. AF 即為所求。

勾股定理意義重大，當然會出現在尺規作圖裡，比如不用直尺四等分圓。

也不但在限制尺規的作圖方面，就是通常的作圖，三角形也有重要作用，比如邊邊邊定理還是尺規作圖的重要依據，比如可以實現做角平分線、做垂線等等操作。

讀者對我上面的内容還滿意嗎？

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