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等腰三角形的存在性問題簡便方法
等腰三角形的存在性問題簡便方法
更新时间:2025-04-04 09:39:51

幾何圖形存在性問題是中考二次函數壓軸題一大常見類型,等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形等均有涉及,本系列從等腰三角形開始,逐一介紹各種問題及常規解法.

01

問題與方法

【問題描述】

如圖,點A坐标為(1,1),點B坐标為(4,3),在x軸上取點C使得△ABC是等腰三角形.

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)1

【幾何法】“兩圓一線”得坐标

(1)以點A為圓心,AB為半徑作圓,與x軸的交點即為滿足條件的點C,有AB=AC;

(2)以點B為圓心,AB為半徑作圓,與x軸的交點即為滿足條件的點C,有BA=BC;

(3)作AB的垂直平分線,與x軸的交點即為滿足條件的點C,有CA=CB.

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)2

【注意】若有三點共線的情況,則需排除.

作圖并不難,問題是還需要把各個點坐标算出來,可通過勾股或者三角函數來求.

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)3

C3、C4同理可求,下求C5.

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)4

顯然垂直平分線這個條件并不太适合這個題目,如果A、B均往下移一個單位,當點A坐标為(1,0),點B坐标為(4,2)時,可構造直角三角形勾股解:

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)5

而對于本題的C5,或許代數法更好用一些.

【代數法】表示線段構相等.

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)6

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)7

方法總結

幾何法:

(1)兩圓一線作出點;

(2)利用勾股、相似、三角函數等求線段長,由線段長得點坐标.

代數法:

(1)表示出三個點坐标A、B、C;

(2)由點坐标表示出三條線段:AB、AC、BC;

(3)分類讨論①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC;

(4)列出方程求解.

題型概括:

(1)兩定一動:動點可在直線上、抛物線上;

(2)一定兩動:兩動點必有關聯,可表示線段長度列方程求解;

(3)三動點:分析可能存在的特殊邊、角,為突破口.

02

“兩定一動”類

2018泰安中考

【動點在對稱軸上】

如圖,在平面直角坐标系中,二次函數y=ax² bx c交x軸于點A(-4,0)、B(2,0),交y軸于點C(0,6),在y軸上有一點E(0,-2),連接AE.

(1)求二次函數的表達式;

(2)若點D為抛物線在x軸負半軸上方的一個動點,求△ADE面積的最大值;

(3)抛物線對稱軸上是否存在點P,使△AEP為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有P點的坐标,若不存在請說明理由.

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)8

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)9

【補充】“代數法”用點坐标表示出線段,列方程求解亦可以解決.

2019白銀中考删減

【動點在斜線上】

如圖,抛物線y=ax² bx 4交x軸于A(-3,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C,連接AC,BC.點P是第一象限内抛物線上的一個動點,點P的橫坐标為m.

(1)求此抛物線的表達式;

(2)過點P作PM⊥軸,垂足為點M,PM交BC于點Q.試探究點P在運動過程中,是否存在這樣的點Q,使得以A,C,Q為頂點的三角形是等腰三角形.若存在,請求出此時點Q的坐标,若不存在,請說明理由;

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)10

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)11

2019鹽城中考删減

【動點我以為在抛物線上其實還是在直線上】

如圖所示,二次函數y=k(x-1)² 2的圖像與一次函數y=kx-k 2的圖像交于A、B兩點,點B在點A的右側,直線AB分别與x、y軸交于C、D兩點,其中k<0.

(1)求A、B兩點的橫坐标;

(2)若△OAB是以OA為腰的等腰三角形,求k的值.

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)12

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)13

03

“一定兩動”類

2018貴港中考删減

【兩動共線型】

如圖,已知二次函數y=ax² bx c的圖像與x軸相交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸相交于點C(0,-3).

(1)求這個二次函數的表達式;

(2)若P是第四象限内這個二次函數的圖像上任意一點,PH⊥x軸于點H,與線段BC交于點M,連接PC.當△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時,求點P的坐标.

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)14

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)15

2019眉山中考删減

【構造一線三等角】

如圖,在平面直角坐标系中,抛物線y=-4/9x² bx c經過點A(-5,0)和點B(1,0).

(1)求抛物線的解析式及頂點D的坐标;

(2)如圖,連接AD、BD,點M在線段AB上(不與A、B重合),作∠DMN=∠DBA,MN交線段AD于點N,是否存在這樣點M,使得△DMN為等腰三角形?若存在,求出AN的長;若不存在,請說明理由.

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04

“三動點”類

2019葫蘆島中考删減

【從特殊角入手】

如圖,直線y=-x 4與x軸交于點B,與y軸交于點C,抛物線y=-x² bx c經過B,C兩點,與x軸另一交點為A.點P以每秒根号2個單位長度的速度在線段BC上由點B向點C運動(點P不與點B和點C重合),設運動時間為t秒,過點P作x軸垂線交x軸于點E,交抛物線于點M.

(1)求抛物線的解析式;

(2)如圖,連接AM交BC于點D,當△PDM是等腰三角形時,直接寫出t的值.

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等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)20

附:tan22.5°的求法.

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)21

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)22

半角或者二倍角的三角函數值均可如此構造.

等腰三角形的存在性問題簡便方法(存在性系列之等腰三角形存在性問題)23

寫在最後

具體問題具體看,

不要想着一鍋端.

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