随着分析學對函數引入微分運算，表示未知函數的導數以及自變量之間的關系的方程進入數學家的視野，這就是微分方程。微分方程的形成與發展與力學、天文學、物理學等科學技術的發展密切相關。因為在現實的世界中，物質的運動及其變化規律在數學上是用函數關系來描述的，這意味着問題的解決就是要去尋求滿足某些條件的函數，而這類問題就轉換為微分方程的求解問題。微分方程為科學發現提供了有力工具，如：

• 牛頓通過使用微分方程研究天體力學和機械力學，從理論上得到行星運動規律；
• 英國天文學家亞當斯和法國天文學家勒維烈使用微分方程，找到了海王星。

解微分問題的基本思想類似于解代數方程，要把問題中已知函數和未知函數之間的關系找出來，進而得到包含未知函數的一個或幾個方程，然後使用分析的方法去求得未知函數的表達式。

微分方程的發展曆程：

• 蘇格蘭數學家耐普爾創立對數時，就對微分方程的近似解進行了讨論；
• 牛頓用級數求解簡單的微分方程；
• 瑞士數學家雅各布·貝努利、歐拉、法國數學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人不斷地研究和豐富了微分方程的理論；
• 複變函數、李群、組合拓撲學等數學分支的新發展，深刻影響了微分方程的發展；
• 計算機成為微分方程的應用及理論研究的有力工具。

常微分方程

如果微分方程中出現的未知函數隻含一個自變量，那麼該類微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解構成一個函數族，主要研究方程或方程組的分類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等内容。

常微分方程的發展經曆了幾個階段：

• 将求通解作為微分方程的主要目标，因為隻要求出通解的表達式，那麼解的性質等問題都将迎刃而解；
• 實際的研究發現，在實際中大部分情況是不能夠求出通解的，于是研究重點轉移到定解問題上來。
• 微分方程基本問題的解決：解的存在和唯一性定理；
• 由于大部分的常微分方程求不出解析解，而隻能求近似解。

現在，常微分方程在自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩定性的研究、化學反應過程穩定性的研究等學科領域内有着重要的應用。

偏微分方程

如果一個微分方程中出現多元未知函數的偏導數，那麼這就是偏微分方程。偏微分方程作為一門學科産生于18世紀對振動弦問題的研究。在科學技術飛速發展過程中，更多的問題無法用隻含一個自變量的函數來描述，多個變量的函數來描述才更合适。

• 歐拉最早提出了弦振動的二階方程；
• 法國數學家達朗貝爾也在《論動力學》中提出了特殊的偏微分方程。1746年，在論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中提議證明：無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式；
• 瑞士數學家丹尼爾·貝努利通過研究數學物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法；
• 拉格朗日對一階偏微分方程進行了讨論。

到19世紀，偏微分方程得到迅速發展，數學物理問題的研究也随之繁榮起來，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。尤其是法國數學家傅立葉，他在自己關于熱傳導的論文《熱的解析理論》中提出了一種偏微分方程，三維空間的熱方程。

偏微分方程是什麼樣的？它包括哪些内容？偏方程有多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、抛物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。

作為同一類現象的共同規律表示式，偏微分方程的解一般有無窮多個，而具體物理問題的解決，必須依據附加條件從中選取所需要的解。就物理現象來說，各具體問題的特殊性就在于研究對象所處的初始條件和邊界條件。

初始條件和邊界條件叫做定解條件。偏微分方程本身表達的是同一類物理現象的共性，是作為解決問題的依據；定解條件卻反映出具體問題的個性，反映了問題的具體情況；那麼方程和定解條件合二為一，就叫定解問題。

求偏微分方程的定解問題可以先求其通解，然後用定解條件找出函數。但一般在實際中來說，通解是不容易求出的，用定解條件确定函數則是更難。偏微分方程的定解常用解法：

• 分離系數法，也叫傅立葉級數，可用于求解有界空間中的定解問題；
• 分離變數法，也叫傅立葉變換或傅立葉積分，可用于求解無界空間的定解問題；
• 拉普拉斯變換法用于求解一維空間的數學物理方程的定解：通過拉普拉斯變換，把方程轉化為常微分方程，解出常微分方程後再進行反演。

偏微分方程的很多定解問題是不能嚴格解出的，退而求其次，采用近似方法求出滿足實際需要的近似解。常用的方法有變分法和有限差分法：變分法是把定解問題轉化成變分問題，再求變分問題的近似解；有限差分法是把定解問題轉化成代數方程，然後用計算機進行計算。

随着物理科學所研究的廣度和深度的擴展，偏微分方程的應用範圍也更廣泛。而從數學的角度看，偏微分方程的求解促使函數論、變分法、級數展開、常微分方程、代數、微分幾何等各方面的發展。從這個角度說，偏微分方程變成了數學的中心。