證明ab+cd=ef(其中a、b、c、d、e、f為圖中已知的線段)幾何題曆來是中學數學學習中難點,面對這類問題一開始就令人覺得無從下手,或思考不了幾步便黔驢技窮,最終都不得不遺憾地放棄.
事實上這類問題的證明很簡單,隻需要遵循“截相似,證相似”即可。即在某個三角形中截取一個三角形,使它與某個三角形構成一對相似三角形,然後再證另一對相似三角形。
具體請看以下幾例.
例1 如圖1,AB是半圓的直徑,弦AC、BD相交于點E.
求證:AE·AC+BE·BD=AB2.
解析:首先考慮到AB為直徑,連接AD、BC,則∠C=∠D=90°。
作EF⊥AB于F,則可得兩對相似三角形,即△AEF∽△ABC,△BEF∽△BAD,
所以AE/AB=AF/AC,BE/BA=BF/BD,
所以AE·AC=AF·AB,
BE·BD=BF·BA,
兩式相加,得
AE·AC+BE·BD=AF·AB BF·BA=
AB(AF BF)=AB ·AB =AB2.
例2 如圖2,ABCD是圓内接四邊形.
求證:AB·CD+AD·BC=AC·BD(托勒密定理).
解析:因為∠BAC=∠BDC,所以可在AC上取一點E,使△BAE∽△BDC,則
AB/BD=AE/DC,∠AEB=∠DCB,
所以AB·CD=BD·AE……(1)
因為∠AEB=∠ACB ∠EBC,
∠DCE=∠DCA ∠ACB,
所以∠EBC=∠DCA,
又∠DCA=∠ABD,
所以∠EBC=∠ABD,
又∠BCE=∠BDA,
所以△BCE∽△BDA,
所以BC/BD=CE/AD,
所以AD·BC=BD·CE……(2)
(1) (2),得
AB·CD AD·BC=BD·AE BD·CE=BD(AE CE)=BD·AC.
例3 如圖3,等腰ΔABC中,AB=AC,D是底邊BC上任一點.
求證:AB2=AD2+BD·DC.
解析:因為AB=AC,
所以∠B=∠C。
故在AB上取點E,使∠BDE=∠CAD,
則△BDE∽△CAD,
所以BD/AC=BE/DC,
所以BD·DC=AC·BE………(1)
因為∠AED=∠B ∠BDE,
∠ADB=∠C ∠CAD,
所以∠AED=∠ADB,
又∠DAE=∠BAD(公共角),
所以△ADE∽△ABD,
所以AD/AB=AE/AD,
所以AD2=AB·AE……(2)
(1) (2),得
BD·DC AD2=AC·BE AB·AE=AB(BE AE)=AB·AC=AB2,
所以AB2=AD2+BD·DC.
例4(2013年全國初中數學聯賽題)如圖4,圓内接四邊形ABCD中,CB=CD.
求證:CA2-CB2=AB·AD.
證明:因為CB=CD,
所以∠BAC=∠DAC,
作∠ABE=∠DCA,BE交AC于E,
則△ABE∽△ACD,∠AEB=∠D,
所以AB/CA=AE/AD,
所以AB·AD=CA·AE……(1)
因為∠D與∠ABC互補,∠AEB與∠BEC互補,
所以∠BEC=∠ABC,
又∠BCE=∠ACB(公共角),
所以△BCE∽△ACB,
所以BC/CA=CE/BC,
所以BC2=CA·CE……(2)
(1) (2),得
AB·AD BC2=CA·AE CA·CE=CA(AE CE)=CA2,
所以CA2-CB2=AB·AD.