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五種角平分線的畫法
五種角平分線的畫法
更新时间:2025-04-03 18:31:35

【分析方法導引】

當幾何問題中,出現了角平分線和向角平分線所作的垂線的時候,就要想到可應用等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明。

若角平分線的垂線沒有過角的頂點時,可直接将角平分線的垂線延長到與角的兩邊相交,構成等腰三角形中重要線段的基本圖形,然後再應用一次軸對稱型全等三角形來完成分析。

若角平分線的垂線經過角的頂點時,則應将角平分線的垂線平行移動,使它離開角的頂點,然後再與角的兩邊相交構成等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

例11 如圖3-150,已知:△ABC中,AD是高,AE是角平分線,F是BC的中點,CG⊥AE,BH⊥AE,垂足分别為G、H。求證:D、G、F、H四點共圓。

五種角平分線的畫法(基本圖形分析法)1

圖3-150

分析:由條件AE是角平分線和CG⊥AE,就構成角平分線和向角平分線所作的垂線的組合關系,從而就必定得到一個等腰三角形的基本圖形。由于這個等腰三角形是由角平分線AE的垂線CG和角的兩邊AB、AC相交得到的,而現在CG與AB尚未相交,所以應将它們延長到相交,也就是延長CG交AB于M(如圖3-151),即可得△AMG≌△ACG,AM=AC和GM=GC。

五種角平分線的畫法(基本圖形分析法)2

圖3-151

在得到G是CM的中點後,由于條件中該給出F是BC的中點,這樣就出現了兩個中點,是多個中點問題,所以可應用三角形的中位線的基本圖形的性質進行證明(如圖3-152),于是可得GF∥MB,GF=1/2MB。

五種角平分線的畫法(基本圖形分析法)3

圖3-152

由于本題要證明的結論是D、G、F、H四點共圓,是一個圓内接四邊形也就是圓周角的基本圖形的應用問題。由于這個圓周角的基本圖形中,已經有一條邊FG,所以應将相應的一條對邊添上,于是聯結HD(如圖3-153),問題也就轉化成要證∠GFD=∠GHD。而由GF∥MB。可得∠GFD=∠MBC,這樣問題就又成為要證∠ABD=∠AHD,A、B、H、D四點共圓,而條件中已經給出AD⊥BD,AH⊥BH,所以分析可以完成。

五種角平分線的畫法(基本圖形分析法)4

圖3-153

如果我們的分析是從AE是角平分線和BH是角平分線AE的垂線開始,那也可以用類似的方法完成分析。也就是由AE是角平分線,BH⊥AE,可得延長BH交AC的延長線于M後,有AB=AM,BH=MH。而由F、H分别是BC、BM的中點,可得聯結FH後(如圖3-154),有FH∥CM,∠HFD=∠ACB。而由∠ADC=∠AGC=90°,又可得A、G、D、C四點共圓,所以聯結GD後有∠HGD=∠ACB,從而就可推得∠HFD=∠HGD,D、G、F、H四點共圓。

五種角平分線的畫法(基本圖形分析法)5

圖3-154

例12 如圖3-155,已知:△ABC中,MN是∠A的外角平分線,BD⊥MN,CE⊥MN,垂足分别是D、E,F是BC的中點。求證:FD=FE=1/2(AB AC)

五種角平分線的畫法(基本圖形分析法)6

圖3-155

分析:本題條件中出現了AN是∠A的外角。也就是∠CAK的角平分線,且CE⊥AN是角平分線AN的垂線,所以可構成一個等腰三角形的基本圖形。由于這個等腰三角形是由角平分線的垂線和角的兩邊相交得到的,而現在這條CE尚未與角的一邊AK相交,所以延長CE交BA的延長線于G(如圖3-156),即可得△ACE≌△AGE,AC=AG,CE=GE。

五種角平分線的畫法(基本圖形分析法)7

圖3-156

在得到了E是CG的中點後,由于條件中還給出F是BC的中點,就出現了兩個中點,是多個中點問題,就可以應用三角形中位線的基本圖形的性質進行證明。由于E、F所在的線段GC、BC有公共端點C,可以組成△CBG,所以FE就是△CBG的一條中位線,從而也就可得FE=1/2BG=1/2(AB AG)=1/2(AB AC)。

對于條件中給出的AM是∠A的外角平分線和BD⊥AM,我們也可以用同樣的方法進行分析,所以延長BD交CA的延長線于H(如圖3-157)。得AB=AH,BD=HD,同樣地再由BF=CF,就可證明FD=1/2(AB AC),分析就可以完成。

五種角平分線的畫法(基本圖形分析法)8

圖3-157

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