日常生活中,我們經常接觸到許多按一定順序排列的數。
如:
自然數:1,2,3,4,5,6,7,… (1)
年份:1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996 (2)
某年級各班的學生人數(按班級順序一、二、三、四、五班排列)
45,45,44,46,45 (3)
像上面的這些例子,按一定次序排列的一列數就叫做數列。
數列中的每一個數都叫做這個數列的項,其中第1個數稱為這個數列的第1項,第2個數稱為第2項,…,第n個數就稱為第n項。如數列(3)中,第1項是45,第2項也是45,第3項是44,第4項是46,第5項45。
根據數列中項的個數分類,我們把項數有限的數列(即有有窮多個項的數列)稱為有窮數列,把項數無限的數列(即有無窮多個項的數列)稱為無窮數列,上面的幾個例子中,(2)(3)是有窮數列,(1)是無窮數列。
研究數列的目的是為了發現其中的内在規律性,以作為解決問題的依據,本講将從簡單數列出發,來找出數列的規律。
不妨把①與②聯系起來繼續觀察,容易看出:數列①中,随項數的增大,每一項的數值也相應增大,即數列①是遞增的;數列②中,随項數的增大,每一項的值卻依次減小,即數列②是遞減的。但是除了上述的不同點之外,這兩個數列卻有一個共同的性質:即相鄰兩項的差都是一個定值。我們把類似①②這樣的數列,稱為等差數列。
綜合③④考慮,數列③是遞增的數列,數列④是遞減的數列,但它們卻有一個共同的特點:每列數中,相鄰兩項的商都相等。像③④這樣的數列,我們把它稱為等比數列。
這個以1,1分别為第1、第2項,以後各項都等于其前兩項之和的無窮數列,就是數學上有名的斐波那契數列,它來源于一個有趣的問題:如果一對成熟的兔子一個月能生一對小兔,小兔一個月後就長成了大兔子,于是,下一個月也能生一對小兔子,這樣下去,假定一切情況均理想的話,每一對兔子都是一公一母,兔子的數目将按一定的規律迅速增長,按順序記錄每個月中所有兔子的數目(以對為單位,一月記一次),就得到了一個數列,這個數列就是數列⑤的原型,因此,數列⑤又稱為兔子數列,這些在高年級遞推方法中我們還要作詳細介紹。
數列⑥不同于數列⑤的原因是:數列⑥的第2項為3,而數列⑤為1,數列⑥稱為魯卡斯數列。
小結:尋找數列的規律,通常從兩個方面來考慮:
①尋找各項與項數間的關系;②考慮相鄰項之間的關系。然後,再歸納總結出一般的規律。
事實上,數列⑦或數列⑧的兩種方法,就是分别從以上兩個不同的角度來考慮問題的。但有時候,從兩個角度的綜合考慮會更有利于問題的解決。因此,仔細觀察,認真思考,選擇适當的方法,會使我們的學習更上一層樓。
像(13)(14)這樣的數列,每個數列中都含有兩個系列,這兩個系列的規律各不相同,類似這樣的數列,稱為雙系列數列或雙重數列。
下面是給同學們的小練習,一起做做看吧!
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本講答案