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解法1：構建一線三等角模型半角模型（學生解法——非常巧妙）

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構建半角模型是破題的關鍵所在，利用翻折的性質結合等腰三角形三線合一，得到等腰直角三角形CQM，然後順勢構建一線三垂直模型，這是解法的第二個精妙之處，将線段AQ,BP放置于兩個有公共臨邊的直角三角形中，AN很好的充當了橋梁的作用，然後證明△AQN是等腰直角三角形，将問題破解！

解法2：旋轉法截長補短

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連接BQ，由AB=AD，聯想到旋轉法，在DQ上截取DM=BQ（而BQ=PQ,從而 DM=PQ，繼而得到 DP=QM，這可是本解法的精妙之處，将 DP與AQ兩條分散的線段集中到一個三角形中，秒），然後借助翻折模型，證出∠ABQ=∠ADM，這是破解本題的第二個關鍵點，為下面的全等構造了條件。最後由倒角模型，得出∠AQM為直角，順勢破解本題。

上面兩種解法，很巧妙，感謝成虎老師、王銳恒同學提供精彩的破題思路！下面兩種解法，比較繁瑣，是自己結合上面兩種解法拓展出來的，自然，最醜陋的東西，要放在最後：

解法3：平移構造平行四邊形翻折模型蝴蝶模型

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這種解法，通過構造平行四邊形，利用平移的性質，将AQ轉移至△PDM中，将兩條分散的線段集中在一起，思路很接“地氣“，學生容易接受。接下來，自然是構造全等三角形，接着借助翻折模型，得到∠ABQ=∠ADQ=∠PAM，利用ASA證明 △ABQ與△DAM全等，得到∠AQB=∠DMA，其中由蝴蝶模型可知∠BQD=∠BAD=90°，最後證出∠PMD為等腰直角三角形，問題破解。

解法4：構造手拉手模型半角模型

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這種解法由BA=AD，聯想到構造一個與 △ABQ 牽手的△ADM （是解法1的逆向思維。不過個人覺得學生由題目圖形聯想到手拉手模型思路會順暢一些），接下來逆用倒角模型，得到 ∠DAM=∠BAQ ,為全等三角形構造了條件，以後的處理方法與上面的類似，請讀者自己思考。其中證明 QM=DP仍然是問題的關鍵！

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