今天是微分方程的最後一節，講的也是微分方程最難的部分，二階常系數線性微分方程，當然說它難，也是紙老虎，因為“一個蘿蔔一個坑”，每類題型都有固定的套路。
二階常系數線性微分方程，有齊次和非齊次兩種，而且非齊次通解的解法包含齊次的，因此先講齊次，後講非齊次。
問題索引：
- 二階常系數齊次線性微分方程的解題流程是什麼？
- 二階常系數非齊次線性微分方程的解題流程是什麼？
先講齊次的，直接拿例題來說吧：
例：
第一步：寫出特征方程，需要注意特征方程和原方程的對應關系
解得
第二步：寫出通解
一般來說通解就這麼寫，兩個e腦袋上x的系數分别對應兩個特征根，當然，特征根可不一定存在，因此得分成幾種情況進行讨論。
如果解出來的是兩個不同的實根，則通解形式為：
如果解出來是兩個相同的實根，則通解形式為：
如果解出來是兩個共轭複根，則通解形式為：
這樣的話齊次就講完了，基本程序就是解一個一元二次方程，然後根據解的情況寫對應的通解形式。
下面就是非齊次的求解：
第一步先求對應齊次的通解，這個已經求過了，下面就是求非齊次的一個特解，方法就是待定系數法，待定系數法比較複雜，請認真看我的操作：
設：
看到顔色的不同了吧，首先看紅色，原方程是2，是一個0次多項式，因此設出來的函數就是一個常數A，紅色部分的對應關系就是次數相同，比如原方程紅色部分是一個二次多項式，那麼設出來的函數也是二次的，二次的就是三個待定系數。
再來看綠色部分，原方程是-1，跟兩個求出來的特征根-2，-3都不一樣，因此立即推k=0
如果原方程是-2呢，說明跟特征根對上了，那麼k=1
如果原方程的特征根-2是一個二重根，而原方程綠色部分也是-2，跟這個二重根對上了，那麼k=2
所以，最終的結果是，
代入求解即可。
答案：
思考題：
答案：
恭喜你，又學會了一個知識點。
今天是學習的第26/46天，
每天進步一點點，46天帶你完成蛻變。
——END——
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