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數二考研常微分方程題目
數二考研常微分方程題目
更新时间:2025-04-05 07:31:29

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)1

今天是微分方程的最後一節,講的也是微分方程最難的部分,二階常系數線性微分方程,當然說它難,也是紙老虎,因為“一個蘿蔔一個坑”,每類題型都有固定的套路。

二階常系數線性微分方程,有齊次和非齊次兩種,而且非齊次通解的解法包含齊次的,因此先講齊次,後講非齊次。

問題索引:

  • 二階常系數齊次線性微分方程的解題流程是什麼?
  • 二階常系數非齊次線性微分方程的解題流程是什麼?

先講齊次的,直接拿例題來說吧:

例:

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)2

第一步:寫出特征方程,需要注意特征方程和原方程的對應關系

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)3

解得

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)4

第二步:寫出通解

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)5

一般來說通解就這麼寫,兩個e腦袋上x的系數分别對應兩個特征根,當然,特征根可不一定存在,因此得分成幾種情況進行讨論。

如果解出來的是兩個不同的實根,則通解形式為:

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)6

如果解出來是兩個相同的實根,則通解形式為:

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)7

如果解出來是兩個共轭複根,則通解形式為:

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)8

這樣的話齊次就講完了,基本程序就是解一個一元二次方程,然後根據解的情況寫對應的通解形式。

下面就是非齊次的求解:

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)9

第一步先求對應齊次的通解,這個已經求過了,下面就是求非齊次的一個特解,方法就是待定系數法,待定系數法比較複雜,請認真看我的操作:

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)10

設:

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)11

看到顔色的不同了吧,首先看紅色,原方程是2,是一個0次多項式,因此設出來的函數就是一個常數A,紅色部分的對應關系就是次數相同,比如原方程紅色部分是一個二次多項式,那麼設出來的函數也是二次的,二次的就是三個待定系數。

再來看綠色部分,原方程是-1,跟兩個求出來的特征根-2,-3都不一樣,因此立即推k=0

如果原方程是-2呢,說明跟特征根對上了,那麼k=1

如果原方程的特征根-2是一個二重根,而原方程綠色部分也是-2,跟這個二重根對上了,那麼k=2

所以,最終的結果是,

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)12

代入求解即可。

答案:

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)13

思考題:

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)14

答案:

數二考研常微分方程題目(二階常系數線性微分方程)15

恭喜你,又學會了一個知識點。

今天是學習的第26/46天,

每天進步一點點,46天帶你完成蛻變。

——END——

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