數二考研常微分方程題目-tft每日頭條

數二考研常微分方程題目（二階常系數線性微分方程）1

今天是微分方程的最後一節，講的也是微分方程最難的部分，二階常系數線性微分方程，當然說它難，也是紙老虎，因為“一個蘿蔔一個坑”，每類題型都有固定的套路。

二階常系數線性微分方程，有齊次和非齊次兩種，而且非齊次通解的解法包含齊次的，因此先講齊次，後講非齊次。

問題索引：

先講齊次的，直接拿例題來說吧：

例：

數二考研常微分方程題目（二階常系數線性微分方程）2

第一步：寫出特征方程，需要注意特征方程和原方程的對應關系

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解得

數二考研常微分方程題目（二階常系數線性微分方程）4

第二步：寫出通解

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一般來說通解就這麼寫，兩個e腦袋上x的系數分别對應兩個特征根，當然，特征根可不一定存在，因此得分成幾種情況進行讨論。

如果解出來的是兩個不同的實根，則通解形式為：

數二考研常微分方程題目（二階常系數線性微分方程）6

如果解出來是兩個相同的實根，則通解形式為：

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如果解出來是兩個共轭複根，則通解形式為：

數二考研常微分方程題目（二階常系數線性微分方程）8

這樣的話齊次就講完了，基本程序就是解一個一元二次方程，然後根據解的情況寫對應的通解形式。

下面就是非齊次的求解：

數二考研常微分方程題目（二階常系數線性微分方程）9

第一步先求對應齊次的通解，這個已經求過了，下面就是求非齊次的一個特解，方法就是待定系數法，待定系數法比較複雜，請認真看我的操作：

數二考研常微分方程題目（二階常系數線性微分方程）10

設：

數二考研常微分方程題目（二階常系數線性微分方程）11

看到顔色的不同了吧，首先看紅色，原方程是2，是一個0次多項式，因此設出來的函數就是一個常數A，紅色部分的對應關系就是次數相同，比如原方程紅色部分是一個二次多項式，那麼設出來的函數也是二次的，二次的就是三個待定系數。

再來看綠色部分，原方程是-1，跟兩個求出來的特征根-2，-3都不一樣，因此立即推k=0

如果原方程是-2呢，說明跟特征根對上了，那麼k=1

如果原方程的特征根-2是一個二重根，而原方程綠色部分也是-2，跟這個二重根對上了，那麼k=2

所以，最終的結果是，

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代入求解即可。

答案：

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思考題：

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答案：

數二考研常微分方程題目（二階常系數線性微分方程）15

恭喜你，又學會了一個知識點。

今天是學習的第26/46天，

每天進步一點點，46天帶你完成蛻變。

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