函數的奇偶性是函數本身的一種屬性，通過函數的奇偶性，我們可以對函數的定義域、值域和函數的圖象有着更直觀的認識和理解。

下面，我們來看奇函數和偶函數的定義。

根據這個定義，我們易知一一

①不管是奇函數還是偶函數，它們的定義域都是關于原點對稱的(因ⅹ與-x互為相互數，f(ⅹ)有定義，f(-x)也要存在的)，這也是判斷函數奇偶性的一種方法，當然也是奇、偶函數的一個性質;

②函數奇偶性的判斷，在定義域是關于原點對稱的前提下，關鍵是比較f(x)與f(-x)的大小，若二者相等(即f(x)-f(-ⅹ)=0)則為偶函數，若二者互為相反數(即f(ⅹ) f(-x)=0)則為奇函數。

顯然，判斷一個函數的奇偶性就是判斷這個函數是奇函數還是偶函數，當然，有的函數可能既是奇函數也是偶函數，也有的函數可能既不是奇函數也不是偶函數。

判定函數奇偶性的方法，常用的有三種方法:

一是定義法

首先看函數的定義域是不是關于原點的對稱區間，必須對稱，像區間(-4,4]、區間(-10，0)和區間[2，10]就不是關于原點對稱的區間，而區間(-∞， ∞)、區間[-a， a]和區間(-∞，0)U(0， ∞)都是關于原點對稱的區間;

第二步就要來計算f(-ⅹ)與f(ⅹ)的大小關系。

二是圖象法即根據函數f(ⅹ)的圖象來直觀判斷，若圖象關于原點對稱就是奇函數，若圖象關于Y軸對稱就為偶函數，若圖象既不關于原點對稱又不關于Y軸對稱那就為非奇非偶函數，當然，既為奇函數又為偶函數的函數的圖象就是X軸(即f(ⅹ)=0，常數函數)。

三是運算法(即加減乘除四則運算法)

這是對于複合函數而言的，比如函數f(x)=e^x十x^2，就是由一個指數函數和一個幂函數通過加法運算組成的一個複合函數。

一般地，在各分函數的公共定義域上，有

奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇x奇=偶，偶x偶=偶，奇X偶=奇。

我們還是來看一道判斷選擇題，以增強對函數奇偶性的認識吧！

下面函數是奇函數的是( ):

①f(ⅹ)=2x (x∈R);

②f(x)=2ⅹ (ⅹ∈Z);

③f(x)=2x (x∈N);

④f(x)=2 (x∈R);

⑤f(x)=0 (x∈R);

⑥f(x)=2x十3 (x∈R);

⑦f(x)=Sinⅹ(x≥0);

⑧f(x)=|x| (x∈R);

⑨f(ⅹ)=1/ⅹ (x≠0);

⑩f(x)=1/x (ⅹ<8)。

[分析]

先從函數的定義域方面入手，看看哪些是關于原點對稱的，顯然③、⑦、⑩定義域都不是關于原點對稱的，這三個先排除掉;對于①、②、④、⑤、⑥、⑧、⑨中，我們再來看f(-ⅹ)與f(ⅹ)的大小關系，滿足f(-x)=f(x)的顯然有④、⑤、⑧三個，為偶函數;滿足f(-x)=-f(ⅹ)的有①、②、⑤、⑨四個，為奇函數。

[練一練]

1)已知函數f(ⅹ)=(ⅹ 1)√[(1-ⅹ)/(1 x)]，判斷f(ⅹ)在定義域上的奇偶性;

2)證明:函數f(ⅹ)=a^x-a^(-x)(x∈R，a≠0)為奇函數。