本文通過一道一模壓軸題，讓“K字型”遍地生花，期學生心中結出“碩果累累”；再以“玩轉任意（确定）角”獨步天下，盼學生練就此功傲視“江湖”；最後借構造趣法，叙說數學之無窮魅力，引學生踏進數學之殿堂，領略數學之神奇！

原題重現：

如圖1，二次函數y=mx^2 (m^2-m)x-2m 1的圖像與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，頂點D的橫坐标為1.

（1）求二次函數的解析式及A、B的坐标；

（2）若點P（0，t）（t<-1）是y軸上的一點，Q（-5，0），将點Q繞着點P按順時針方向旋轉90°得到點E，當點E恰好落在該二次函數的圖像上時，求t的值；

（3）在（2）的條件下，連接AD、AE，若點M是該二次函數圖像上的一點，且∠DAE=∠MCB，求點M的坐标.

簡析：（1）利用二次函數頂點公式易知m=-1，故二次函數的解析式為y＝-x^2＋2x＋3，且點A、B的坐标分别為（-1，0）、（3，0），不再詳述；

（2）點P（0，t）（t<-1）是y軸上的一點，從這個條件中易知t是一個小于1的負數，注意點的坐标可正可負，而邊長隻能為正數！之所以專門提出這一點，就是因為部分學生的作業中會出現以下問題：想要表示某邊長時，竟然出現了邊長t之類的錯誤！邊長隻能是正數啊，怎麼可能表示成負數t呢！同學們要養成“坐标與邊長”之間互相轉化的意識，這是平面直角坐标系中的基本功；

第一步：畫出符合題意的草圖，如圖2所示；

第二步：分析草圖2會發現隐藏着一個等腰Rt△PQE，“見等腰直角三角形，造K字型全等”，如圖3所示，注意這裡的PF=QR=-t>0，再利用“平移公式”得點E的坐标為（-t，t 5）；

第三步：“有點即代入”，将點E的坐标代入抛物線得t 5＝-（-t）^2＋2（-t）＋3，解得t=-1或-2，又因為t<-1，所以t取-2；

解題後反思：本題中“見等腰直角三角形，造K字型全等”（類比“見直角三角形，造K字型相似”）是一個極其重要的基本圖形與解題思路，在中考裡應用非常廣泛，值得同學們反複推敲，這是本文中“K字型”的第一次“生花”！

再來看最後一問：

（3）這是一個有關角的存在性問題，可以采用“抓不變量”的審題策略結合“确定性思想”去認真讀讀題目、理解題意：與∠DAE相關的三個點A、D、E都是确定的，因此∠DAE也是一個确定的角，“既然是确定的，一定是可解的”，∠DAE的三角函數值一定可求；這樣與其相等的∠MCB的大小也是随之确定的，而與∠MCB相關的兩個點C、B都是确定的點，現在需要尋找的就是第三個點M，它也一定是确定的，肯定可解；

用這些“确定性思想”去分析問題，結合“不變的背景（或框架）”去尋找符合題意的目标，這種最基本也是最自然的分析方式值得同學們用心學習并加以運用；

回到本問的解答中，主要分以下幾步“庖丁解牛”：

第一步：如圖4所示，什麼事也不幹，就先按題目要求連接AD、AE，然後去認真分析∠DAE，想辦法求出其三角函數值，解出此角；

相不相信，∠DAE所在的△DAE會是一個特殊的三角形，很有可能是直角三角形額，如圖5那樣；

做數學題就是需要大膽而心細，大膽地去猜，但又不是毫無依據地瞎猜；細心地去推理證明剛剛的猜想，“瞎想與遐想”有時候真的很重要，這是一種重要的數學感性意識；

第二步：驗證△DAE是個直角三角形，進而得到∠DAE的三角函數值，如tan∠DAE；

多數同學第一反應都會用勾股定理去驗證△DAE是個直角三角形，這不失為一種好方法，但三個邊長均屬于“斜”邊長，計算稍顯麻煩，下面筆者采用另一種解法去驗證△DAE是個直角三角形，而且順帶求出tan∠DAE=1/3；

前文我們有提過“見直角三角形，造K字型相似”，這裡我們變通為“證直角三角形，造K字型相似”，如圖6所示，依托于△DAE的各頂點作“水平—豎直輔助線”得Rt△DGE及Rt△EHA，若能證明這兩個确定的直角三角形相似，則就能通過導角得到∠DEA為直角；

事實上，這兩個直角三角形都是等腰直角三角形，可以通過普适地“相似法”導角得直角∠DEA，也可以抓住這裡的“特殊性”，即∠DEG=∠AEH=45°輕松得到∠DEA為直角，且無論是通過相似還是通過求邊都可導出tan∠DAE=1/3；

值得一提的是，這一步是本文中“K字型”的第二次“生花”！有趣的是，這裡是通過構造“K字型”相似來證明直角三角形，另外有時候若需要證明等腰直角三角形的話，也可以通過構造“K字型全等”輔助線來完成，是一種重要的思路方法；

第三步：确定tan∠DAE=1/3後，與之相等的∠MCB的大小也就随之确定了，接下來就要依托确定的邊CB先畫出符合題意的∠MCB，很明顯符合條件的點M有兩個，如圖7所示，這裡存在兩種情況，希望同學們一下子就要想到，這樣的幾何直觀極其重要；

接下來就是分别去求找到的點M了，目标既然已經确定，那就要堅定方向，矢志不渝地去集中全力去思考。

第四步：前面已經得到tan∠M1CB=1/3，如圖8所示，依托這個确定的∠M1CB，過已知點B作BN⊥CM1交CM1于點N，構造出Rt△BCN；

值得一提的是，這裡将已知點B作成直角頂點，值得同學們關注，這樣構造才能真正實現口算，是構造直角三角形這一步的精髓所在；

第五步：造出确定的Rt△BCN後，“見直角三角形，造K字型相似”再次發揮用武之地，如圖9所示，易知Rt△BCG∽Rt△NBH，且其相似比為3，這裡tan∠M1CB=1/3提供的就是所需相似比，從而得N（2，-1）；

然後利用點C、N兩點坐标求出直線CM1的解析式，再與抛物線聯立解方程組求交點坐标，即可求出所要尋找的第一個點M1的坐标，不再詳述；

這一步是本文中“K字型”的第三次“生花”！有趣的是，這裡的直角三角形不是已知、也不是所求，而是依托于題目中已經确定的某個角構造出來的，筆者稱這個過程為“玩轉任意（确定）角”，瞧，很有趣吧！

第六步：（再來一遍）！如圖10所示，先依托确定的∠M2CB，過已知點B作BN⊥CM2交CM2于點N，構造出Rt△BCN；

“見直角三角形，造K字型相似”，如圖10，易知Rt△BCO∽Rt△NBG，且其相似比為3，這裡tan∠M2CB=1/3提供的就是所需相似比，從而得N（4，1）；

然後利用點C、N兩點坐标求出直線CM2的解析式，再與抛物線聯立解方程組求交點坐标，即可求出所要尋找的第二個點M2的坐标，不再詳述；

這一步是本文中“K字型”的第四次“生花”！“玩轉任意（确定）角”獨步天下也并非浪得虛名啊！

至此本題已經得到完美解答，筆者通過直角三角形，包括已知直角三角形、證明直角三角形甚至于先構造出直角三角形，讓“K字型”基本圖形遍地生花，也期盼在同學們心裡結滿了果！另，同學們若練成“玩轉任意（确定）角”之功夫，就可以獨步天下、笑傲江湖啦！

對于最後一問，筆者不甘就此停筆，繼續反思後，又尋到一種通解通法，而且正符合一些解題高手數學探究情懷的味口，現介紹如下:

如圖11所示，由前面的分析tan∠BCM=1/3知∠BCM是确定的，又易知∠BCO=45°也是确定的，從而這兩個角的和∠OCN2與差∠OCN1也是确定的，既然是确定的，肯定是可解的，隻要能求出tan∠OCN2與tan∠OCN1的值即可輕松求出相應的CM的解析式，從而解決問題；

問題就在于怎麼求tan∠OCN2與tan∠OCN1的值呢？這正是上面我摘錄的兩個基本類型所能解決的拿手好戲啊，下面筆者另起爐竈處理解決；

先求tan∠OCN2，其中∠OCN2=45° ∠BCN2，這裡要處理的是兩個确定角之和的三角函數值，具體構造如下：

第一步：如圖12所示，構造一個含45°的等腰Rt△BOC；

第二步：如圖13所示，依托Rt△BOC的斜邊CB再造一個“背靠背”的含銳角β的Rt△BCN，其中tanβ=tan∠BCN2=1/3，則圖13中構造的∠OCN就等于圖11中的∠OCN2；

第三步：如圖14所示，依托中間的“斜置”Rt△BCN構造“K字型相似”，并補成矩形OCGH，即過Rt△BCN的三個頂點作“水平—豎直輔助線”，“改斜歸正”得出Rt△BOC∽Rt△NHB，且其相似比為3；

第四步：鎖定Rt△CNG，利用“巧設”，求出tan∠OCN=tan∠CNG=2的值即可；

第五步：回到圖11中，tan∠OCN2=2，則N2的坐标為（6，0），然後利用點C、N2兩點坐标求出直線CM2的解析式，再與抛物線聯立解方程組求交點坐标，即可求出所要尋找的點M2的坐标，不再贅述；

Once again（再來一遍）！下面求圖11中的tan∠OCN1的值，其中∠OCN1=45°-∠BCN1，這裡要處理的是兩個确定角之差的三角函數值，具體構造如下：

第一步：如圖15所示，構造一個含45°的等腰Rt△BOC；

第二步：如圖16所示，依托Rt△BOC的斜邊CB再造一個“背靠背”的含銳角β的Rt△BCN，其中tanβ=tan∠BCN1=1/3；

第三步：如圖17所示，依托中間的“斜置”Rt△BCN構造“K字型相似”，并補成矩形OBGH，即過Rt△BCN的三個頂點作“水平—豎直輔助線”，“改斜歸正”得出Rt△BOC∽Rt△CHN，且其相似比為3；

第四步：鎖定Rt△BNG，其中∠NBG=45°-β=∠OCN1（見圖11），利用“巧設”，求出tan∠NBG=1/2的值即可；

第五步：回到圖11中，tan∠OCN1=1/2，則N1的坐标為（3/2，0），然後利用點C、N1兩點坐标求出直線CM1的解析式，再與抛物線聯立解方程組求交點坐标，即可求出所要尋找的點M1的坐标，不再贅述；

兩角和與差的構造，有趣吧！這裡我們用初中人人都能看懂的構造法，解決了高中學生所能掌握的公式，仁者見仁智者見智，好與不好在于學生，對于能接受的學生并且能運用于平時的解題中，這肯定是大好事，因為有的時候，我們用最自然的“确定性思想”思考問題時，很容易遇到這些“障礙”，掌握了今天的構造法，你就可以輕松掃除障礙，掌握不了還可以去尋找其他方法，多一種工具、多一種方法，何樂而不為！

為了滿足大家的探究“胃口”，下面再提供一種由兩角和的構造法結合對稱性進而得到兩角差的構造之法，增加構造的趣味性與數學味：

一切盡在圖18與圖19中，這也是傳說中的“無字證明”！隻要最後将目光鎖定在Rt△CHN’中，tan∠HCN’=1/2即為所要構造的兩個角之差，不再詳述！