設f(x),g(x)在x=x0處連續，則：

1、f(x)±g(x)在x=x0處連續

2、f(x)g(x)在x=x0處連續

3、若g(x)≠0,則f(x)/g(x)在x=x0處連續

證明:

因為f(x),g(x)在x=x0處連續

所以lim(x-x0)f(x)=f(x0),lim(x->x0)g(x)=g(x0)

（1）

lim(x->x0)[f(x)±g(x)]=lim(x->x0)f(x)±lim(x->x0)g(x)=f(x0)±g(x0)

所以f(x)±g(x)在x=x0處連續

（2）

lim(x->x0)[f(x)g(x)]=lim(x->x0)f(x)lim(x->x0)g(x)=f(x0)g(x0)

所以f(x)g(x)在x=x0處連續

（3）

g(x)≠0

lim(x->x0)[f(x)/g(x)]=lim(x->x0)f(x)/lim(x->x0)g(x)=f(x0)/g(x0)

所以f(x)/g(x)在x=x0處連續

y=f(u), u=g(x), g(x)≠a

若：lim(u->a)f(u)=A, lim(x->x0)g(x)=a, 則lim(x->x0)[f(g(x))]=A

即：lim(x->x0)[f(g(x))]=f[lim(x->x0)g(x)]=f(a)

所以求極限遇到複合函數可以将lim往子函數裡面“鑽”

如：lim(x->0)arctanx((1-x)/(1 x))=arctan[lim(x->0)((1-x)/(1 x))]=arctan1=π/4

1、基本初等函數

（1）x^a

（2）a^x, (a>0且a≠1)

（3）loga(x)，(a>0且a≠1)

（4）sinx, cosx, tanx, cotx, secx, cscx

（5）arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx

2、基本初等函數在其定義域内連續

3、初等函數(基本初等函數與常數進行四則或複合而成的函數)在其定義域内連續

例1：lim(x->2)[x^3-3x^2 4]

此函數為初等函數，在定義域内連續，由連續的性質的值極限值等于該點函數值

所以：原式=0

例2：lim(x->0)[(1 2x)/(1-x)]^(1/sin2x)

=lim(x->0)[1 3x/(1-x)]^(1/sin2x)

=lim(x->0)[1 3x/(1-x)]^[((1-x)/3x)*(3x/sin2x)*(1/1-x)]

=e^[lim(x->0)[(3x/sin2x)*(1/1-x)]]

=e^[lim(x->0)(3x/sin2x)*lim(x->0)(1/1-x)]

=e^(3/2)